zbiór wartości funkcji

[katarinka1201]

wyznacz zbiór wartości funkcji
\(\displaystyle{ 1) \ \sin ^ {2} x \cdot \cos ^{4} x +\sin ^{4} x \cdot \cos ^{2} x \\
2)\ ( \sin x + \cos x ) ^{2} \\
3)\ ( \sin x - \cos x )( \sin x + \cos x )}\)

[tometomek91]

1)
\(\displaystyle{ \sin ^ {2} x \cdot \cos ^{4} x +\sin ^{4} x \cdot \cos ^{2} x= \sin ^ 2 x \cos ^ 2 x( \cos ^ 2 x + \sin ^ 2 x)=(\sin{x} \cos{x})^2=\left( \frac{1}{2} \sin{ 2x} \right)^2}\)
zatem możliwe wartości tego wyrażenia są z przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0, \frac{1}{4} \right]}\).

[katarinka1201]

ok dziękuje a możesz mi jeszcze wytłumaczyć dlaczego taki przedział

[tometomek91]

Ale najpierw Ty mi powiedz jakie wartości może przyjąć funkcja \(\displaystyle{ \sin{x}}\) gdy \(\displaystyle{ x}\) przebiega cały zbiór liczb rzeczywistych, funkcja \(\displaystyle{ \sin{2x}}\), i ogólnie \(\displaystyle{ \sin{nx}}\) dla ustalonego naturalnego \(\displaystyle{ n}\)?

[katarinka1201]

Ale najpierw Ty mi powiedz jakie wartości może przyjąć funkcja \(\displaystyle{ \sin{x}}\) gdy \(\displaystyle{ x}\) przebiega cały zbiór liczb rzeczywistych, funkcja \(\displaystyle{ \sin{2x}}\), i ogólnie \(\displaystyle{ \sin{nx}}\) dla ustalonego naturalnego \(\displaystyle{ n}\)?

\(\displaystyle{ sinx \in \left\langle -1;1\right\rangle}\)
a sin2x podobnie?

[tometomek91]

Tak, więc \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sin{2x} \in \left[ -\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right]}\). Rozważ funkcje \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) i \(\displaystyle{ g(x)=\frac{1}{2} \sin{2x}}\) oraz \(\displaystyle{ (f \circ g)(x)}\), jakie wartości przyjmuje ta ostatnia?

[katarinka1201]

\(\displaystyle{ f(x)=x ^{2}}\) czyli \(\displaystyle{ f(x)}\) przyjmuje wartości \(\displaystyle{ \ge 0}\) tak? i dlatego ten przedział jest od zera?

[tometomek91]

Tak.