Związki między funkcjami trygonometrycznymi.

[stabilo]

Proszę o rozwiązanie poniższych zadań, ponieważ moje rozwiązania nie zgadzają się z odpowiedziami w podręczniku.

1. Sprawdź tożsamości.

I. \(\displaystyle{ \left( \sin \alpha + \cos \alpha \right) ^{2} + \left( \sin \alpha - \cos \alpha \right) ^{2} = 2}\)

II. \(\displaystyle{ 1 + \ctg \alpha = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha }{\sin \alpha }}\)

2. Przedstaw w prostszej postaci.

I. \(\displaystyle{ \left( \cos \alpha \tg \alpha \right) ^{2} - \left( \sin \alpha \ctg \alpha \right) ^{2}}\)

II. \(\displaystyle{ \sin \alpha \cos \alpha \left( \tg \alpha + \ctg \alpha \right)}\)

[anna_]

1.

I. \(\displaystyle{ \left( \sin \alpha + \cos \alpha \right) ^{2} + \left( \sin \alpha - \cos \alpha \right) ^{2} = 2}\)
wzory skróconego mnożenia


II. \(\displaystyle{ 1 + \ctg \alpha = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha }{\sin \alpha }}\)

podstaw \(\displaystyle{ \ctg \alpha= \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}\)

[stabilo]

Prosiłem o rozwiązanie zadań, a nie wzory skrócenego mnożenia, które znam na pamięć. Moje rozwiązania po prostu nie zgadzają się z kluczem odpowiedzi, co zaznaczyłem na początku mojego postu

[anna_]

1. a)
Wzory skróconego mnożenia znasz?

[stabilo]

tak, wszystkie, no ale nijak nie mogę rozwiązać akurat tych czterech prostych przykładów

[anna_]

1.

\(\displaystyle{ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2}\)
\(\displaystyle{ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2}\)
U Ciebie
\(\displaystyle{ a=\sin \alpha}\)

\(\displaystyle{ b=\cos \alpha}\)

I. \(\displaystyle{ \left( \sin \alpha + \cos \alpha \right) ^{2} + \left( \sin \alpha - \cos \alpha \right) ^{2} =}\)

[stabilo]

\(\displaystyle{ \left( \sin \alpha + \cos \alpha \right) ^{2} + \left( \sin \alpha + \cos \alpha \right) ^{2} = \sin ^{2} \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos ^{2} \alpha + \sin ^{2} \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos ^{2} \alpha = 2\sin ^{2} \alpha + 2\cos ^{2} \alpha}\)

dobrze?

[anna_]

Super.
Teraz wyłącz \(\displaystyle{ 2}\) przed nawias i zastanów się ile jest równe to co zostanie w nawiasie.

[stabilo]

\(\displaystyle{ 2\sin ^{2} \alpha + 2\cos ^{2} \alpha = 2(\sin ^{2} \alpha + \cos ^{2} \alpha )}\)

i co dalej ?

[anna_]

Ile jest równe \(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha + \cos ^{2} \alpha}\)?

[stabilo]

Teraz rozumiem...

\(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha + \cos ^{2} \alpha = 1

2 \cdot 1 = 2}\)
L = P

[anna_]

No widzisz i poradziłaś sobie.

1.
II. \(\displaystyle{ L=1 + \ctg \alpha =}\)
podstaw
\(\displaystyle{ \ctg \alpha= \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}\)
a potem sprowadź do wspólnego mianownika

[stabilo]

\(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha + \cos \alpha - \sin \alpha }{\sin ^{2} \alpha } - \frac{\sin \alpha \cos \alpha }{\sin ^{2} \alpha }}\)

dobrze robię ?

[anna_]

1.
II. \(\displaystyle{ L=1 + \ctg \alpha =1+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=}\)

Mianownik to \(\displaystyle{ \sin\alpha}\)

[stabilo]

\(\displaystyle{ 1+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin \alpha + \cos \alpha }{\sin \alpha }}\)