Rownanie trygonometryczne

[Sosna]

Rozwiaz:1) \(\displaystyle{ sinx+cosx=1}\)
ja zamienilem cos na \(\displaystyle{ (\frac{\pi}{2}-x)}\)
pozniej zastosowalem wzor na sume funkcji trygonometrycznych i w konsekwencji otrzymalem
\(\displaystyle{ sin\frac{\pi}{8}cos\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{8}=\frac{1}{2}}\)

i co dalej? wszystko przez ta jedynke z poczatku jak jest z prawej strony 0 to nie ma problemu bo w iloczynie daje ze to albo to musi wynosic 0 i sobie licze ale jak juz jest jakas liczba z prawej strony to pojawia sie problem
2)PODOBNE ZADANIE \(\displaystyle{ tgx+ctgx=2
prosze o pomoc i dziekuje
POZDRO!!! }\)

[Tristan]

1) Przypomnijmy sobie wzór na sumę sinusów: \(\displaystyle{ \sin x + \sin y= 2 \sin \frac{ x+y}{2} \cos \frac{ x-y}{2}}\). Rzeczywiście z wzorów redukcyjnych mamy, że \(\displaystyle{ \cos x=\sin ( \frac{ \pi}{2} - x)}\). No to rozwiązujemy:
\(\displaystyle{ \sin x + \cos x =1 \\ \sin x + \sin ( \frac{ \pi}{2} -x)=1 \\ 2 \sin \frac{ x + \frac{ \pi}{2} - x}{2} \cos \frac{ x - \frac{ \pi}{2} + x }{2} =1 \\ \sin \frac{\pi}{4} \cos (x- \frac{ \pi}{4})=\frac{1}{2} \\ \frac{ \sqrt{2}}{2} \cos ( x - \frac{ \pi}{4})=\frac{1}{2} \\ \cos( x- \frac{ \pi}{4})= \frac{ 1}{ \sqrt{2}}=\frac{ \sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ x- \frac{ \pi}{4}= \frac{ \pi}{4} +2k \pi x - \frac{ \pi}{4}=- \frac{ \pi}{4} +2k \pi, k \mathbb{ C }}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{ \pi}{2} + 2k \pi x= 2k \pi, k \mathbb{C}}\)

2) Pamiętajmy o założeniach, tzn \(\displaystyle{ \sin x 0, \cos x 0}\). Przyda nam się jeszcze wzorek \(\displaystyle{ \sin 2x= 2 \sin x \cos x}\).
\(\displaystyle{ \tg x + \ctg x=2 \\ \frac{ \sin x }{ \cos x } + \frac{ \cos x }{ \sin x }= 2 \\ \sin^2 x + \cos^2 x = 2 \sin x \ cos x \\ 1= \sin 2 x \\ 2x= \frac{ \pi}{2} + 2k \pi, k \mathbb{ C} \\ x= \frac{ \pi}{4} + k \pi , k \mathbb{ C}}\)

[Vixy]

w tym pierwszym przykladzie : sinx+cosx=1 mozna podniesc do kwadratu i bedzie (sinx+cosx)^2=1^2

[Tristan]

Nie możemy tak sobie podnieść do kwadratu, ostatecznie rozwiązanie byłoby złe.

[Sosna]

Dzieki za rozwiazanie jak dzielilem stronami przez 2 to procz tego kazdy czynnik jeszcze podzielilem przez dwa wiec nie dziwie sie ze utknalem w miejscu

POZDRAWIAM!!