tożsamość cyklometryczna

[Sirkami]

Witam!

Wie ktoś może jak to udowodnić?

\(\displaystyle{ \sin ( \arc\tg x ) = \frac{x}{ \sqrt{1+x^{2}}}}\)

Osobiście doszedłem tylko do momentu:

\(\displaystyle{ L=x \cdot \cos ( \arc\tg x )}\)

Proszę tylko od podpowiedź. Teraz powinnien przekształcić tangensa czy czy cosinusa i w co?

[szw1710]

Skorzystaj z jedynki trygonometrycznej.

[Sirkami]

tego już próbowałem. Doprowadza mnie to do tego punktu:

\(\displaystyle{ x \cdot \sqrt{1-sin^{2}(arctgx) }}\)

czyli jestem spowrotem tam gdzie byłem. Daj trochę większą podpowiedź.

[Psiaczek]

Daj trochę większą podpowiedź.

sama idea jest taka:

niech \(\displaystyle{ y=\arctan x}\) trzeba znaleźć \(\displaystyle{ \sin y}\)

wtedy \(\displaystyle{ x=\tan y,x= \frac{\sin y}{\cos y}}\)

stąd \(\displaystyle{ \cos y= \frac{\sin y}{x}, \cos^2 y= \frac{sin^2 y}{x^2}}\)

wstawić do jedynki tryg.

\(\displaystyle{ 1=\sin^2 y(1+ \frac{1}{x^2})}\)

przekształcić i wychodzi \(\displaystyle{ \sin^2 y= \frac{x^2}{1+x^2}}\)

i zostały techniczne szczegóły, przedziały, znaki itp.