wykazanie nierówności

[major37]

W trójkącie prostokątnym kąt ostry ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). Przyprostokątna leżąca przy kącie alfa ma długość \(\displaystyle{ a}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \sin \alpha +\cos \alpha >1}\) Proszę o jakiś krok. Zrobiłem sobie rysunek i oznaczyłem następne boki. I kombinowałem na kilka sposobów ale żaden mi nie wychodzi.

[Psiaczek]

jeden ze sposobów: w trójkącie prostokątnym funkcje sinus i kosinus dwóch kątów ostrych są dodatnie, wystarczy więc że pokażesz \(\displaystyle{ (\sin \alpha +\cos \alpha)^2>1}\)

a to się łatwo pokazuje korzystając z Pitagorasa

\(\displaystyle{ \left( \frac{b}{c}+ \frac{a}{c} \right) ^2= \frac{b^2+2ba+a^2}{c^2}= \frac{b^2+a^2}{c^2}+ \frac{2ba}{c^2} =1+ \frac{2ba}{c^2} >1}\)

[kamil13151]

I sposób:
\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{b}{c}}\) oraz \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{a}{c}}\)
Również, \(\displaystyle{ a,b,c>0}\).

Równoważnie dostajemy: \(\displaystyle{ \frac{b}{c}+ \frac{a}{c}>1}\)
Po pomnożeniu mamy: \(\displaystyle{ a+b>c}\) co musi zachodzić, ponieważ jest to warunek istnienia trójkąta.

II sposób:
\(\displaystyle{ \sin \alpha, \ \cos \alpha >0}\), bo mamy trójkąt prostokątny, podnosimy do kwadratu, korzystamy z jedynki tryg. i dostajemy postać \(\displaystyle{ 2 \sin \alpha \cos \alpha > 0}\) co jest prawdziwe, bo jest to iloczyn liczb dodatnich.

Ja na próbnej zrobiłem I sposobem .

[major37]

Dzięki:) Tak też robiłem tylko nie wiedziałem, że to wystarczy za dowód

-- 23 lis 2011, o 15:04 --

Ja próbnej nie pisałem tylko kuzyn później do mnie przyszedł i się pytał jak to zrobić I jak Ci poszła próbna ? Trudna była ?-- 23 lis 2011, o 15:08 --Znaczy robiłem tak jak Psiaczek

[bobihno]

Czy wykazanie w ten sposób będzie prawidłowe?

\(\displaystyle{ (\sin \alpha +\cos \alpha)>1}\)
\(\displaystyle{ (\sin \alpha +\cos \alpha)^2>1}\)
\(\displaystyle{ \sin^2 \alpha +\cos^2 \alpha +2\sin \alpha \cos \alpha>1}\)
Tutaj korzystając z jedynki trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ 1+2\sin \alpha \cos \alpha>1}\)
\(\displaystyle{ \sin \alpha \cos \alpha>0}\)
\(\displaystyle{ 90> \alpha >0 \Rightarrow \sin \alpha>0 \wedge \cos \alpha>0 \Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha>0}\)
Z góry dziękuję

[kamil13151]

bobihno, przed podniesieniem do kwadratu powinieneś napisać \(\displaystyle{ 90> \alpha >0 \Rightarrow \sin \alpha>0 \wedge \cos \alpha>0}\). Reszta OK, wyżej już o tym pisałem (II sposób).

[Rik93]

A czy zrobienie tego w taki sposób:
\(\displaystyle{ sin{\alpha } + cos{\alpha}= \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}sin{\alpha }+cos \frac{\sqrt{2}}{2}cos{\alpha })= \sqrt{2} sin( \alpha + \frac{\pi}{4}})}\)
No i wtedy liczę miejsca zerowe dla \(\displaystyle{ sin{\alpha } + cos{\beta}=1}\), rysuję wykres i widzę, że dla \(\displaystyle{ \alpha \in (0, \frac{ \pi }{2})}\) teza postawiona w zadaniu jest prawdziwa.

Tylko, czy takie rozwiązanie jest ujęte w kluczu odpowiedzi?

[waliant]

to nie polski tutaj nie ma klucza tylko jak jest dobrze to jest dobrze..

[kamil13151]

A czy zrobienie tego w taki sposób:
\(\displaystyle{ sin{\alpha } + cos{\beta}=...}\)

Powinno być: \(\displaystyle{ sin{\alpha } + cos{\alpha}}\).