Problem z funkcja cyklometryczną.

[Agalloch]

Witam.
Mam problem z funkcją cyklometryczną. Oto przykład

\(\displaystyle{ y=\arccos (\sin -\frac{53}{9} \pi)}\)
\(\displaystyle{ y _{1}=\arccos (\sin -\frac{53}{9} \pi)}\)
\(\displaystyle{ y _{1}=\arccos (\sin - 5 \pi - \frac{8}{9})}\)
\(\displaystyle{ y _{1}=\arccos (\sin - \frac{17}{9} \pi)}\)
\(\displaystyle{ \cos y _{1}=( \sin - \frac{17}{9} \pi)}\)
\(\displaystyle{ \cos y _{1}= ( \frac{ \pi }{2} + \frac{17}{9})}\)

I tutaj mam problem z liczbą nieparzystą...
Jakby ktoś mógł mi wyjaśnić jak to zrobić byłbym wdzięczny.
Dzięki.

[kropka+]

Korzystamy ze wzorów redukcyjnych funkcji trygonometrycznych.

\(\displaystyle{ \sin(- \frac{53}{9} \pi )=- \sin ( \frac{53}{9} \pi )=- \sin \frac{17}{9} \pi = - \sin ( \pi + \frac{8}{9} \pi )= \sin \frac{8}{9} \pi = \\
\sin ( \frac{ \pi }{2}+ \frac{7}{18} \pi )= \cos \frac{7}{18} \pi \Rightarrow \\ \\
y= \arccos \sin (- \frac{53}{9} \pi )= \arccos \cos \frac{7}{18} \pi = \frac{7}{18} \pi}\)

[Agalloch]

Korzystamy ze wzorów redukcyjnych funkcji trygonometrycznych.

\(\displaystyle{ \sin(- \frac{53}{9} \pi )=- \sin ( \frac{53}{9} \pi )=- \sin \frac{17}{9} \pi = - \sin ( \pi + \frac{8}{9} \pi )= \sin \frac{8}{9} \pi = \\
\sin ( \frac{ \pi }{2}+ \frac{7}{18} \pi )= \cos \frac{7}{18} \pi \Rightarrow \\ \\
y= \arccos \sin (- \frac{53}{9} \pi )= \arccos \cos \frac{7}{18} \pi = \frac{7}{18} \pi}\)

Rozumiem, że pierwszy użyty wzór to \(\displaystyle{ \sin \left(-\alpha\right)=-\sin \alpha \alpha}\)
A ten który pomógł uzyskać \(\displaystyle{ \frac{7}{18} \pi z \frac{8}{9} \pi}\)?

[kropka+]

\(\displaystyle{ \sin ( \pi + \alpha )= - \sin \alpha}\)