postac iloczynu

[primabalerina01]

Przedstaw dane wyrażenie w postaci iloczynu wiedząc, że \(\displaystyle{ \alpha + \beta +\gamma= \pi}\)
a)\(\displaystyle{ sin \alpha +sin \beta +sin\gamma}\)

[Psiaczek]

Cześć, napiszę z polskimi literami A,B,C bo tak szybciej

\(\displaystyle{ C= \pi -(A+B)}\)

\(\displaystyle{ \sin C=\sin( \pi -(A+B))=\sin (A+B)}\)

zatem: (wzór na sumę sinusów dwa pierwsze, ostatni na sinus podwojonego)

\(\displaystyle{ \sin A+\sin B+\sin C=\sin A+\sin B+\sin (A+B)=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}+2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A+B}{2} =2\sin \frac{A+B}{2}\left( \cos \frac{A-B}{2} +\cos \frac{A+B}{2} \right)=...}\)

teraz ze wzoru na sumę cosinusów, oraz tego że \(\displaystyle{ \sin \frac{A+B}{2}=\cos \frac{C}{2}}\) - to z redukcyjnych- mamy dalej

\(\displaystyle{ ...=2\cos \frac{C}{2}2\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}=4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}}\)

[kodobi]

Przepraszam, że odkopuję taki stary temat, ale nie rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ \sin \left( A+B \right)}\) jest zapisane jako \(\displaystyle{ 2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A+B}{2}}\) , przecież to \(\displaystyle{ \sin \left( A+B \right)}\) powinno się rozpisać na \(\displaystyle{ \sin A\cos B+\sin B\cos A}\) ... Wiem że moje rozumowanie jest niepoprawne ale nie wiem dlaczego. Pomóżcie

[tatteredspire]

\(\displaystyle{ \sin(A+B)=\sin\left(2 \cdot \frac{A+B}{2}\right)=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A+B}{2}}\) ze wzoru na sinus podwojonego kąta.

[kodobi]

To jeszcze jedno pytanie, jaki wzór redukcyjny został zastosowany żeby przekształcić \(\displaystyle{ \sin\frac{A+B}{2}= \cos\frac{C}{2}}\) ?