Równanie trygonometryczne

[1styczen]

Hej
nie potrafię sama tego rozwiązać
moglibyscie pomoc?
\(\displaystyle{ \sin 3x + \sin x = 4\sin ^{3} x}\)

z góry dziękuję.

[piasek101]

Dodaj te sinusy na lewej.

[Lbubsazob]

Zauważ, że \(\displaystyle{ \sin 3x=3\sin x\cos^2x-\sin^3x=3\sin x\left( 1-\sin^2 x\right)-\sin^3x}\).
To wynika ze wzoru redukcyjnego na \(\displaystyle{ \sin \left( a+b\right)}\), wystarczy rozpisać \(\displaystyle{ \sin 3x=\sin \left( 2x+x\right)}\).

[piasek101]

Ale jak je doda to ma (prawie) od razu ładną postać.

[1styczen]

z twierdzenia \(\displaystyle{ \sin a + \sin b = 2...}\)

[piasek101]

Tak, potem jeszcze rozpisz sinusa podwojonego kąta, wszystko na lewą, wyłącz coś przed nawias ...

[1styczen]

\(\displaystyle{ 4\sin x (\cos ^{2} x - \sin ^{2}x)=0}\)

czy ten nawias z jedynki rozpisac?

[Lbubsazob]

\(\displaystyle{ 4\sin x (\cos ^{2} x - \sin ^{2}x)=0 \Leftrightarrow 4\sin x=0 \vee \cos^2x=\sin^2x}\)

[1styczen]

Czy ma wyjść 5 rozwiazan?

[Lbubsazob]

Chyba nawet więcej...
Z pierwszego równania masz \(\displaystyle{ \sin x=0 \Rightarrow x=k\pi}\)
Z drugiego: \(\displaystyle{ 1-\sin^2x=\sin^2x \Rightarrow \sin^2x= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin x= \frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow x= \frac{\pi}{4}+2k\pi \vee x= \frac{3}{4}\pi+2k\pi \\
\sin x=- \frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow x= \frac{5}{4}\pi+2k\pi \vee x= \frac{7}{4}\pi+2k\pi}\)

[DarkStunt]

jesli ktos chce to moze jeszcze sciagnac do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4} + \frac{k \pi }{2} ; k \in C}\)