Wartosci funkcji

[DarkStunt]

Witam
nie wiem jak mam obliczyc zbior wartosci funkcji
licze na pomoc i wyjasnienie

\(\displaystyle{ y= \sin x - \cos x+3}\)

pozdrawiam!

[szw1710]

\(\displaystyle{ -1\le\cos x\le 1}\)

Tę nierówność pomnóż stronami przez \(\displaystyle{ -1}\)

\(\displaystyle{ -1\le\sin x\le 1}\)

Teraz obie nierówności dodaj stronami, a następnie dodaj do wszystkich stron nierówności podwójnej trójkę.

[DarkStunt]

\(\displaystyle{ x \in \left\langle 1,5 \right\rangle}\)
taki wynik?

[szw1710]

Tak, ale raczej \(\displaystyle{ y\in\langle 1,5\rangle.}\)

Mogłem jednak zrobić pewien błąd. Teraz o tym pomyślałem. Otóż tą metodą oszacowałem wartości tej funkcji z góry i z dołu. Ale czy wartości \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 5}\) sa przyjęte? To inna kwestia. I tak wcale nie musi być. Nie chcę się uciekać do rachunku różniczkowego, gdzie od razu znajdziemy maksimum i minimum. Można spróbować dokładniej poszacować.

Oczywiście dodanie trójki nie ma żadnego znaczenia dla metody. Więc dla uproszczenia zbadajmy zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sin x-\cos x}\).

[DarkStunt]

chyba jednak bedzie obustronnie otwarty

[szw1710]

Nie o to chodzi. Już wszystko wiem. Zaraz napiszę.

Mamy \(\displaystyle{ \cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\,.}\)

Otóż skorzystajmy ze wzoru \(\displaystyle{ \sin\alpha-\sin\beta-2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}.}\)

Mamy stąd

\(\displaystyle{ f(x)=\sin x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\cos\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}\).

Ale \(\displaystyle{ \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}\) ewidentnie przyjmuje wszystkie wartości z przedziału \(\displaystyle{ \langle-\sqrt{2},\sqrt{2}\rangle}\) i tylko takie wartości. Zatem zbiorem (wszystkich) wartości wyjściowej funkcji jest \(\displaystyle{ \langle 3-\sqrt{2},3+\sqrt{2}\rangle.}\)

Zrób sobie wykres w Wolfram Alpha. Zobaczysz.

[Psiaczek]

można przekształcić \(\displaystyle{ \sin x-\cos x=\sin x-\sin \left( \frac{ \pi }{2}-x \right) =2\cos \frac{ \pi }{4}\sin \left( x- \frac{ \pi }{4} \right)= \sqrt{2} \sin \left( x- \frac{ \pi }{4} \right)}\)

czyli zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ \sin x -\cos x}\) to przedział \(\displaystyle{ [- \sqrt{2}, \sqrt{2}]}\)

w zwiazku z tym zbiór wartości twojej funkcji to \(\displaystyle{ [- \sqrt{2}+3, \sqrt{2}+3]}\)

[DarkStunt]

ale mam \(\displaystyle{ \sin x - \cos x}\)

[kamil13151]

Toć dobrze jest?

[szw1710]

Poczekać mogliście, aż skończę pisać. Przecież dałem znać, że zaraz napiszę

Psiaczek, więc identyczna metoda.

kamil13151, tak, teraz jest dobrze.

[DarkStunt]

Toć dobrze jest?

poprawione:P

wielki dzieki za pomoc

[kamil13151]

Nie chcę się uciekać do rachunku różniczkowego, gdzie od razu znajdziemy maksimum i minimum.

Uciekniesz?

[Lorek]

35088.htm