Wartosci funkcji
-
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 22 cze 2010, o 19:02
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 25 razy
Wartosci funkcji
Witam
nie wiem jak mam obliczyc zbior wartosci funkcji
licze na pomoc i wyjasnienie
\(\displaystyle{ y= \sin x - \cos x+3}\)
pozdrawiam!
nie wiem jak mam obliczyc zbior wartosci funkcji
licze na pomoc i wyjasnienie
\(\displaystyle{ y= \sin x - \cos x+3}\)
pozdrawiam!
Wartosci funkcji
\(\displaystyle{ -1\le\cos x\le 1}\)
Tę nierówność pomnóż stronami przez \(\displaystyle{ -1}\)
\(\displaystyle{ -1\le\sin x\le 1}\)
Teraz obie nierówności dodaj stronami, a następnie dodaj do wszystkich stron nierówności podwójnej trójkę.
Tę nierówność pomnóż stronami przez \(\displaystyle{ -1}\)
\(\displaystyle{ -1\le\sin x\le 1}\)
Teraz obie nierówności dodaj stronami, a następnie dodaj do wszystkich stron nierówności podwójnej trójkę.
Wartosci funkcji
Tak, ale raczej \(\displaystyle{ y\in\langle 1,5\rangle.}\)
Mogłem jednak zrobić pewien błąd. Teraz o tym pomyślałem. Otóż tą metodą oszacowałem wartości tej funkcji z góry i z dołu. Ale czy wartości \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 5}\) sa przyjęte? To inna kwestia. I tak wcale nie musi być. Nie chcę się uciekać do rachunku różniczkowego, gdzie od razu znajdziemy maksimum i minimum. Można spróbować dokładniej poszacować.
Oczywiście dodanie trójki nie ma żadnego znaczenia dla metody. Więc dla uproszczenia zbadajmy zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sin x-\cos x}\).
Mogłem jednak zrobić pewien błąd. Teraz o tym pomyślałem. Otóż tą metodą oszacowałem wartości tej funkcji z góry i z dołu. Ale czy wartości \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 5}\) sa przyjęte? To inna kwestia. I tak wcale nie musi być. Nie chcę się uciekać do rachunku różniczkowego, gdzie od razu znajdziemy maksimum i minimum. Można spróbować dokładniej poszacować.
Oczywiście dodanie trójki nie ma żadnego znaczenia dla metody. Więc dla uproszczenia zbadajmy zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sin x-\cos x}\).
Wartosci funkcji
Nie o to chodzi. Już wszystko wiem. Zaraz napiszę.
Mamy \(\displaystyle{ \cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\,.}\)
Otóż skorzystajmy ze wzoru \(\displaystyle{ \sin\alpha-\sin\beta-2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}.}\)
Mamy stąd
\(\displaystyle{ f(x)=\sin x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\cos\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}\).
Ale \(\displaystyle{ \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}\) ewidentnie przyjmuje wszystkie wartości z przedziału \(\displaystyle{ \langle-\sqrt{2},\sqrt{2}\rangle}\) i tylko takie wartości. Zatem zbiorem (wszystkich) wartości wyjściowej funkcji jest \(\displaystyle{ \langle 3-\sqrt{2},3+\sqrt{2}\rangle.}\)
Zrób sobie wykres w Wolfram Alpha. Zobaczysz.
Mamy \(\displaystyle{ \cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\,.}\)
Otóż skorzystajmy ze wzoru \(\displaystyle{ \sin\alpha-\sin\beta-2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}.}\)
Mamy stąd
\(\displaystyle{ f(x)=\sin x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\cos\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}\).
Ale \(\displaystyle{ \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}\) ewidentnie przyjmuje wszystkie wartości z przedziału \(\displaystyle{ \langle-\sqrt{2},\sqrt{2}\rangle}\) i tylko takie wartości. Zatem zbiorem (wszystkich) wartości wyjściowej funkcji jest \(\displaystyle{ \langle 3-\sqrt{2},3+\sqrt{2}\rangle.}\)
Zrób sobie wykres w Wolfram Alpha. Zobaczysz.
- Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Wartosci funkcji
można przekształcić \(\displaystyle{ \sin x-\cos x=\sin x-\sin \left( \frac{ \pi }{2}-x \right) =2\cos \frac{ \pi }{4}\sin \left( x- \frac{ \pi }{4} \right)= \sqrt{2} \sin \left( x- \frac{ \pi }{4} \right)}\)
czyli zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ \sin x -\cos x}\) to przedział \(\displaystyle{ [- \sqrt{2}, \sqrt{2}]}\)
w zwiazku z tym zbiór wartości twojej funkcji to \(\displaystyle{ [- \sqrt{2}+3, \sqrt{2}+3]}\)
czyli zbiór wartości funkcji \(\displaystyle{ \sin x -\cos x}\) to przedział \(\displaystyle{ [- \sqrt{2}, \sqrt{2}]}\)
w zwiazku z tym zbiór wartości twojej funkcji to \(\displaystyle{ [- \sqrt{2}+3, \sqrt{2}+3]}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Wartosci funkcji
Poczekać mogliście, aż skończę pisać. Przecież dałem znać, że zaraz napiszę
Psiaczek, więc identyczna metoda.
kamil13151, tak, teraz jest dobrze.
Psiaczek, więc identyczna metoda.
kamil13151, tak, teraz jest dobrze.
-
- Użytkownik
- Posty: 5018
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 459 razy
- Pomógł: 912 razy
Wartosci funkcji
Uciekniesz?szw1710 pisze:Nie chcę się uciekać do rachunku różniczkowego, gdzie od razu znajdziemy maksimum i minimum.