postac iloczynu

[primabalerina01]

Przedstaw wyrazenie w postaci iloczynu:

\(\displaystyle{ a)\ 1+\cos \alpha +\cos \frac{ \alpha }{2} \\
b)\ 1+\sin \alpha +\cos \alpha +\tg \alpha \\
c) \ \cos \alpha +\sin 2 \alpha -\cos 3 \alpha}\)

Prosze o pomoc bo wogole tego nie rozumie

[Psiaczek]

Cześć , kto ci daje takie wieśniackie zadania? To było dobre w dobie tablic logarytmicznych czterdzieści lat temu

chodzi o takie coś , na przykład w pierwszym:

\(\displaystyle{ 1+\cos \alpha +\cos \frac{ \alpha }{2} =\left( \sin^2 \frac{ \alpha }{2}+\cos^2 \frac{ \alpha }{2}\right) +\left( \cos^2 \frac{ \alpha }{2} -\sin^2 \frac{ \alpha }{2} \right) +\cos \frac{ \alpha }{2}=2\cos^2 \frac{ \alpha }{2}+\cos \frac{ \alpha }{2}= 2\cos \frac{ \alpha }{2}\left( \cos \frac{ \alpha }{2} + \frac{1}{2}\right) =2\cos \frac{ \alpha }{2}\left( \cos \frac{ \alpha }{2} + \cos \frac{ \pi }{3} \right) =2\cos \frac{ \alpha }{2}2\cos \left( \frac{ \alpha }{4}+ \frac{ \pi }{6} \right)\cos \left( \frac{ \alpha }{4}- \frac{ \pi }{6} \right)=4\cos \frac{ \alpha }{2}\cos \left( \frac{ \alpha }{4}+ \frac{ \pi }{6} \right)\cos \left( \frac{ \alpha }{4}- \frac{ \pi }{6} \right)}\)

Kiedyś taka postać była przydatna bo nie mieli kalkulatorów i logarytmami wszystko liczyli, a dzisiaj nie ma to już takiego znaczenia.

[loitzl9006]

Psiaczek, a jakby tak nie korzystać z jedynki trygonometrycznej na samym początku, tylko rozpisać sam \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) ?


to byśmy dostali trochę krótsze rachunki

\(\displaystyle{ 1+ \cos \alpha +\cos \frac{ \alpha }{2} = 1 + \left( \cos ^{2} \left( \frac{ \alpha }{2}\right) - \sin ^{2} \left( \frac{ \alpha }{2}\right) \right) + \cos \frac{ \alpha }{2} = \\ = 1 + \left( -1+2 \cos ^{2} \left( \frac{ \alpha }{2}\right) \right) + \cos \frac{ \alpha }{2} = 2 \cos ^{2} \left( \frac{ \alpha }{2} \right) + \cos \frac{ \alpha }{2} = \\ = \cos \frac{ \alpha }{2} \cdot \left( 2 \cos \frac{ \alpha }{2} + 1 \right)}\)

[primabalerina01]

no hej:) Takie zadania mamy w naszym zbiorku.

Nie rozumie z czego wynikly te dwa pierwsze nawiasy ?-- 19 lis 2011, o 11:46 --matko wogole tego nie widze i nie rozumie..

[loitzl9006]

te nawiasy biorą się ze wzorów:

\(\displaystyle{ 1 = \sin ^{2} x + \cos ^{2} x \\ \cos x = \cos ^{2} \left( \frac{x}{2} \right) - \sin ^{2} \left( \frac{x}{2} \right)}\)

Ten drugi wzór często zapisuje się też jako

\(\displaystyle{ \cos 2x = \cos ^{2} x - \sin ^{2} x}\)

ogólna idea tego wzoru jest taka, że ten kąt po lewej stronie równania czyli \(\displaystyle{ 2x}\) musi być dwa razy większy niż te po prawej czyli \(\displaystyle{ x}\). Może też być odpowiednio \(\displaystyle{ x}\) , i \(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\).

[Psiaczek]

loitzl9006 może krótsze ale niewiele, u mnie wydają się długie bo te wyrażenia dużo miejsca zajmują

matko wogole tego nie widze i nie rozumie..

no po to brałem w nawiasy ,żeby było widać co z czego powstaje, pierwszy nawias to jedynka trygonometryczna, a drugi wzór na kosinus podwojonego kąta , tylko argumenty zmniejszone o połowę. Nie dziwię się że tego nie rozumiesz, te zadania są dość koncepcyjne, a myślenia dziś w szkole nie uczą...

[loitzl9006]

Na studiach te wzory ratują skórę niejednokrotnie, np przy liczeniu całki z funkcji trygonometrycznej do parzystej potęgi, także moim zdaniem dobrze się z takim czymś "oswoić"

[adner]

Cześć , kto ci daje takie wieśniackie zadania? To było dobre w dobie tablic logarytmicznych czterdzieści lat temu

Po to, by przetestować umiejętność stosowania wzorów na sinusy/cosinusy sumy/różnicy kątów albo kątów podwojonych? Potem przyjdzie rozwiązać jakąś nierówność(choćby typu \(\displaystyle{ (1+ \cos \alpha +\cos \frac{ \alpha }{2})>0}\) i się to przydaje... albo przy dowodzeniu tożsamości trygonometrycznych.

[Psiaczek]

Primabalerina01 jeszcze coś dla ciebie o tych pozostałych podpunktach :

W drugim można zauważyć ,że \(\displaystyle{ 1+\sin \alpha +\cos \alpha + \tan \alpha =(1+\cos \alpha )(1+\tan \alpha )}\)
i dalej rozpisywać podstawiając \(\displaystyle{ 1=\cos 0, 1=\tan \frac{ \pi }{4}}\)

Trzecie metoda podobna do pierwszego:

\(\displaystyle{ \cos \alpha -\cos 3 \alpha =-2\sin 2 \alpha \sin (- \alpha )=2\sin 2 \alpha \sin \alpha}\)

więc trzecie przybiera postać:\(\displaystyle{ 2\sin 2 \alpha \sin \alpha+\sin 2 \alpha =2\sin 2 \alpha \left( \sin \alpha + \frac{1}{2}\right) = 2\sin 2 \alpha \left( \sin \alpha + \sin \frac{ \pi }{6}\right) =4\sin 2 \alpha \sin \left( \frac{ \alpha }{2} + \frac{ \pi }{12} \right) \cos \left( \frac{ \alpha }{2} - \frac{ \pi }{12} \right)}\)

[primabalerina01]

Jeszcze mam pytania nie odnoszace sie do tych podpuntktow

W jaki sposob \(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha +cos ^{2} \alpha =-2cos \alpha}\) ??

[Psiaczek]

W jaki sposob \(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha +cos ^{2} \alpha =-2cos \alpha}\) ??

dziwne pytanie bo ta równość nie jest tożsamością, podaj jakiś szerszy kontekst skad to się wzięło?Masz tak napisane w zeszycie czy w książce?

[primabalerina01]

na lekcji rozwiazywalismy ten przyklad:
\(\displaystyle{ tg \alpha -ctg= \frac{sin \alpha }{cos \alpha }- \frac{cos \alpha }{sin \alpha } = \frac{sin ^{2} \alpha -cos ^{2} \alpha }{cos \alpha sin \alpha } = \frac{-cos2 \alpha }{cos \alpha sin \alpha }}\) i dalej jest rozszerzony licznik i mianownik przez 2 co ostatecznie daje wynik : \(\displaystyle{ \frac{-2cos2 \alpha }{sin2 \alpha }}\)

[Psiaczek]

oni pomnożyli wzór \(\displaystyle{ \cos 2 \alpha =cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha}\) stronami przez \(\displaystyle{ -1}\) po prostu.

i wyszło \(\displaystyle{ -\cos 2 \alpha =\sin^2 \alpha -\cos^2 \alpha}\)

[primabalerina01]

ahaaa

a jak rozwiazac ten przykad:
\(\displaystyle{ sin ^{2} \alpha -sin ^{2} \beta}\) ?

[loitzl9006]

Jeżeli chodzi o przedstawienie tego w postaci iloczynu, można zastosować wzór na różnicę kwadratów:

\(\displaystyle{ \sin ^{2} \alpha -\sin ^{2} \beta = \left( \sin \alpha - \sin \beta \right) \cdot \left( \sin \alpha + \sin \beta \right)}\)