Udowodnić wzór i podać dziedzinę

[ugabuga333]

1.)\(\displaystyle{ \arcsin x + \arccos x = \frac{ \pi }{2}}\)
2.) \(\displaystyle{ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x)}\)

Byłbym bardzo wdzięczny za rozpisanie tego zadania i wytłumaczenie jak robić tego typ działań.
Z góry thx.

[JakimPL]

1. Należy pokazać, że zachodzi \(\displaystyle{ \arcsin x + \arccos x = \frac{ \pi }{2}}\).

Dla \(\displaystyle{ x}\), dla których określone są te funkcje:

\(\displaystyle{ \arcsin x = a \Leftrightarrow \sin a = x \\ \arccos x = b \Leftrightarrow \cos b = x}\)

Stąd otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \sin a = \cos b}\), a zatem ze wzoru redukcyjnego (mając wciąż na uwadze dziedzinę funkcji pierwotnej) \(\displaystyle{ b = \frac{\pi}{2} - a}\)

Dodając stronami:

\(\displaystyle{ \arcsin x + \arccos x = a + b = a +\frac{\pi}{2} - a = \frac{\pi}{2}}\)

Co należało pokazać.

2. Idea jest identyczna. Należy wykazać, że \(\displaystyle{ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x)}\).

\(\displaystyle{ \arccos x = a \Leftrightarrow \cos a = x \\ \arccos (-x) = b \Leftrightarrow \cos b = -x}\)

Należy po raz kolejny zsumować stronami i skorzystać ze wzoru redukcyjnego.

[ugabuga333]

A jeżeli chodzi o dziedzinę ?

[JakimPL]

Pytanie: dla jakiego \(\displaystyle{ x}\) określona jest funkcja \(\displaystyle{ \arcsin x}\), a dla jakiego \(\displaystyle{ \arccos x}\)? Na tej podstawie wnioskujemy, do jakiego przedziału należy \(\displaystyle{ x}\).

[ugabuga333]

\(\displaystyle{ \arcsin x : R \rightarrow \left[ - \frac{ \pi }{2} - \frac{ \pi }{2} \right] \\
\arccos x : R \rightarrow \left[ 0 - \pi \right]}\)

[JakimPL]

Zamiast myślnika znacznie lepiej pisać przecinek bądź ewentualnie średnik, ale tak, zgadza się . Stąd dziedziną będzie część wspólna, a zatem kąt należy do przedziału \(\displaystyle{ \left[ 0,\frac{\pi}{2} \right]}\).

[ugabuga333]

Czyli w obu zadanich \(\displaystyle{ D : R \rightarrow \left[ 0, \frac{ \pi }{2} \right]}\) ?
To co się by musiało zmieniać, żeby dziedzina ulegała zmianie ? Mógłbyś podać jakiś przykład ?

[JakimPL]

Wróć, wróć. Jeżeli mówimy o dziedzinie: funkcje cyklometryczne sinusa i cosinusa określone są na przedziale \(\displaystyle{ [-1;1]}\). Różnią się natomiast zbiorem wartości.

[ugabuga333]

a czeemu tak ? przecież \(\displaystyle{ x \in \left[ 0, \pi \right]}\)
?

-- 19 lis 2011, o 00:06 --

a no tak zupełnie też zapomniałem ze jest na odwrót.-- 19 lis 2011, o 00:08 --To w takim razie dziedzina będzie w obu od -1 do 1 ?