obliczyć wartość wyrażenia

[xoyox]

obliczyć wartość wyrażenia
a) \(\displaystyle{ \log \tg1^\circ+\log \tg2^\circ+\ldots+\log \tg 89^\circ}\)
b) \(\displaystyle{ \log \tg1^\circ \cdot \log \tg2^\circ \cdot\ldots \cdot \log \tg89^\circ}\)

[lukasz1804]

a) pogrupuj składniki: pierwszy z ostatnim, drugi z przedostatnim itd. W każdej takiej sumie zastosuj wzór na sumę logarytmów, wzór redukcyjny \(\displaystyle{ \tg(90^\circ-\alpha)=\cot\alpha}\) oraz tożsamość \(\displaystyle{ \tg\alpha\cot\alpha=1}\). Pozostanie niewykorzystany tylko środkowy składnik wyjściowej sumy, jednak jego wartość jest znana.

b) zauważ, że wśród czynników występuje wyrażenie \(\displaystyle{ \log\tg 45^\circ}\), a jego wartość jest znana - przy tym decyduje ona o wartości wyjściowego iloczynu.

Pozdrawiam