Udowodnij ze L = P

[kasia1122]

Udowodnij ze:
\(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha + \sin3 \alpha }{2\sin2 \alpha } = \cos \alpha}\)

[mmoonniiaa]

Wykorzystaj wzór na sinus kąta podwojonego: \(\displaystyle{ \sin2 \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha}\) i sinus kąta potrojonego: \(\displaystyle{ \sin3 \alpha =\sin \alpha \left( 3-4\sin^2 \alpha \right)}\)

[Lbubsazob]

\(\displaystyle{ \sin 3x=3\sin x\cos^2x-\sin^3x}\) (możesz to wyprowadzić ze wzoru redukcyjnego, \(\displaystyle{ \sin 3x=\sin\left( 2x+x\right)=\ldots}\))

\(\displaystyle{ \frac{\sin x+3\sin x\cos^2x-\sin^3x}{4\sin x\cos x}= \frac{1+3\cos^2x-\sin^2x}{4\cos x}= \frac{1+3\cos^2x-1+\cos^2x}{4\cos x}=\cos x \\
L=P}\)

[kasia1122]

Wykorzystaj wzór na sinus kąta podwojonego: \(\displaystyle{ \sin2 \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha}\) i sinus kąta potrojonego: \(\displaystyle{ \sin3 \alpha =\sin \alpha \left( 3-4\sin^2 \alpha \right)}\)

Dostalam z tej transformacji z lewej strony:
\(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha + 3\sin \alpha - 4\sin ^{3} \alpha}{4\sin \alpha \cos \alpha}}\)-- 16 lis 2011, o 18:37 --

\(\displaystyle{ \sin 3x=3\sin x\cos^2x-\sin^3x}\) (możesz to wyprowadzić ze wzoru redukcyjnego, \(\displaystyle{ \sin 3x=\sin\left( 2x+x\right)=\ldots}\))

\(\displaystyle{ \frac{\sin x+3\sin x\cos^2x-\sin^3x}{4\sin x\cos x}= \frac{1+3\cos^2x-\sin^2x}{4\cos x}= \frac{1+3\cos^2x-1+\cos^2x}{4\cos x}=\cos x \\
L=P}\)

DZIEKUJE!!!!

[Lbubsazob]

Jeśli robisz w ten sposób, to teraz podziel całość przez \(\displaystyle{ \sin\alpha}\).

[kasia1122]

\(\displaystyle{ \sin 3x=3\sin x\cos^2x-\sin^3x}\) (możesz to wyprowadzić ze wzoru redukcyjnego, \(\displaystyle{ \sin 3x=\sin\left( 2x+x\right)=\ldots}\))

\(\displaystyle{ \frac{\sin x+3\sin x\cos^2x-\sin^3x}{4\sin x\cos x}= \frac{1+3\cos^2x-\sin^2x}{4\cos x}= \frac{1+3\cos^2x-1+\cos^2x}{4\cos x}=\cos x \\
L=P}\)

Jak z tego momentu mozna uproscic aby otrzymac \(\displaystyle{ \cosx ?}\)
\(\displaystyle{ \frac{1+3\cos^2x-1+\cos^2x}{4\cos x}=\cos x}\)

[Psiaczek]

Jak z tego momentu mozna uproscic aby otrzymac \(\displaystyle{ \cosx ?}\)
\(\displaystyle{ \frac{1+3\cos^2x-1+\cos^2x}{4\cos x}=\cos x}\)

otrzymałaś przecież
\(\displaystyle{ \frac{4\cos^2 \alpha }{4\cos \alpha }}\)

PS. nie wiem czemu wytoczyli taką artylerię do tego zadania, jeśli to idzie natychmiast ze wzoru na sumę sinusów:

\(\displaystyle{ \sin 3 \alpha +\sin \alpha =2\sin 2 \alpha \cos \alpha}\)