Mając tg i miare konta obl. sin

[yomen]

Witam. Mam problem z takim oto zadaniem:

Wiedząc że\(\displaystyle{ \tg \alpha =\frac{2}{3} \text{ i } \alpha \in \left( \pi ;\frac{3}{2} \pi \right)}\), oblicz \(\displaystyle{ \sin \left( 2 \alpha +\frac{5}{4} \pi \right)}\)

Najpierw skorzystałem ze wzoru \(\displaystyle{ \sin (x+y) = \sin x\cos y+\sin y\cos x}\), następnie rozpisałem \(\displaystyle{ \sin 2 \alpha}\) i wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ 2 \sin \alpha \cos \alpha \cdot \cos\frac{5}{4} \pi +\sin\frac{5}{4} \pi \cdot \cos ^{2} \alpha -\sin^{2} \alpha}\)
Nie mam pojęcia co zrobić z tymi \(\displaystyle{ \pi}\) . Proszę o jakieś wskazówki co mogę zrobić dalej.

[anna_]

\(\displaystyle{ \cos( \frac{5}{4} \pi)=\cos(\pi+ \frac{\pi}{4} )=-\cos \frac{\pi }{4}}\)

PS. nie sprawdzałam czy w tym co rozpisałeś nie ma błędu

[joe74]

\(\displaystyle{ ..... = 2 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha \cdot \cos\frac{5}{4} \pi + \sin\frac{5}{4} \pi \cdot \left( \cos ^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha\right)}\)

Z zależności

\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{2}{3} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \tg^{2}\alpha = \frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha} = \left( \frac{2}{3}\right)^{2}}\)

\(\displaystyle{ \tg^{2}\alpha = \frac{1 - \cos^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha} = \frac{4}{9}}\)

wyznaczamy \(\displaystyle{ \cos\alpha}\), potem \(\displaystyle{ \sin\alpha}\) i już

W III ćw. kosinus i sinus są ujemne.