Rozwiąż:
\(\displaystyle{ sinx+sin2x+sin3x=4cosxcos \frac{x}{2} cos\frac{3x}{2}}\)
Pomóżcie, nie mam pojęcia nawet jak ruszyć.
Równość trygonometryczna
-
chlorofil
- Użytkownik
- Posty: 548
- Rejestracja: 16 cze 2010, o 18:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 96 razy
Równość trygonometryczna
Rozważmy lewą stronę:
\(\displaystyle{ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = \left( \sin x + \sin 2x\right) + \sin 3x = 2 \sin \frac{3x}{2} \cos \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{3x}{2}\cos \frac{3x}{2} = 2\sin \frac{3x}{2}\left( \cos \frac{x}{2} + \cos \frac{3x}{2}\right) = 2 \sin \frac{3x}{2} \cdot 2 \cos x \cos \frac{x}{2} = 4 \cos x \cos \frac{x}{2} \sin \frac{3x}{2}}\)
Równanie przyjmuje więc postać:
\(\displaystyle{ 4 \cos x \cos \frac{x}{2} \sin \frac{3x}{2} = 4 \cos x \cos \frac{x}{2} \cos \frac{3x}{2}}\)
która jest równoważna postaci:
\(\displaystyle{ 4 \cos x \cos \frac{x}{2} \left( \sin \frac{3x}{2} - \cos \frac{3x}{2}\right) = 0\\4 \cos x \cos \frac{x}{2} \left( \sin \frac{3x}{2} - \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2}\right)\right) = 0}\)
W ostatnim skorzystaj ze wzoru na różnicę sinusów (zamień na postać iloczynową) a dalej to już chyba sobie poradzisz.
\(\displaystyle{ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = \left( \sin x + \sin 2x\right) + \sin 3x = 2 \sin \frac{3x}{2} \cos \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{3x}{2}\cos \frac{3x}{2} = 2\sin \frac{3x}{2}\left( \cos \frac{x}{2} + \cos \frac{3x}{2}\right) = 2 \sin \frac{3x}{2} \cdot 2 \cos x \cos \frac{x}{2} = 4 \cos x \cos \frac{x}{2} \sin \frac{3x}{2}}\)
Równanie przyjmuje więc postać:
\(\displaystyle{ 4 \cos x \cos \frac{x}{2} \sin \frac{3x}{2} = 4 \cos x \cos \frac{x}{2} \cos \frac{3x}{2}}\)
która jest równoważna postaci:
\(\displaystyle{ 4 \cos x \cos \frac{x}{2} \left( \sin \frac{3x}{2} - \cos \frac{3x}{2}\right) = 0\\4 \cos x \cos \frac{x}{2} \left( \sin \frac{3x}{2} - \sin \left(\frac{\pi}{2} - \frac{3x}{2}\right)\right) = 0}\)
W ostatnim skorzystaj ze wzoru na różnicę sinusów (zamień na postać iloczynową) a dalej to już chyba sobie poradzisz.