Obliczyć wartość wyrażenia funkcji trygonometrycznej

[Lajmer]

Witam, nie radzę sobie zupełnie z tym zadankiem i prosiłbym bardzo o pomoc.

Wiedząc, że:
\(\displaystyle{ tg \alpha = \sqrt{2} -1}\)
Oblicz wartość wyrażenia:
\(\displaystyle{ \frac{3cos ^{2} \alpha -sin ^{2} \alpha }{sin \alpha cos \alpha +cos ^{2} \alpha}}\)

[piasek101]

Wiedząc, że:
\(\displaystyle{ tg \alpha =2-1}\)

Tangens równy (1) jest dla określonych kątów.

[Lajmer]

przepraszam, wkradły się male błedy, teraz wszystko jest ok.

[loitzl9006]

\(\displaystyle{ \tg \alpha =1 \Rightarrow \alpha = \frac{ \pi }{4} +k \pi ;k \in Z}\)

Przyjmijmy że \(\displaystyle{ k=0 \Rightarrow \alpha = \frac{ \pi }{4}}\)

wiadomo teraz, że

\(\displaystyle{ \cos\left( 2 \alpha \right) \ \cos \frac{ \pi }{2} =0 \\ \sin\left( 2 \alpha \right) = 1}\) itd policzysz sobie

teraz dla \(\displaystyle{ k=1 \Rightarrow \alpha = \frac{ 5 \pi }{4}}\)

\(\displaystyle{ \cos 2 \alpha = \cos \left( \frac{5 \pi }{2} \right) = \cos\left( 2 \pi + \frac{ \pi }{2} \right) = 0 \\ \sin\left( 2 \alpha \right) = 1 \\ \cos \alpha = \cos\left( \frac{5 \pi }{4} \right) = \cos \left( \pi + \frac{ \pi }{4} \right) = -\cos\left( \frac{ \pi }{4} \right) = - \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \sin \alpha = -\sin \frac{ \pi }{4} = - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

dla \(\displaystyle{ k=2}\) i każdego parzystego będzie tak samo jak dla \(\displaystyle{ k=0}\) , a dla \(\displaystyle{ k=3}\) i każdego nieparzystego będzie tak samo jak dla \(\displaystyle{ k=1}\) .

edit. pisałem jak była wcześniejsza wersja, a jak tak sprawa wygląda, proponuję skorzystać z \(\displaystyle{ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x}}\) i potem wymnożyć na krzyż, podnieść obustronnie do kwadratu, i przedstawić np. \(\displaystyle{ \sin ^{2} x = 1- \cos ^{2} x}\) z jedynki trygonometrycznej. Następnie rozwiązać równanie kwadratowe (2 rozwiązania) i dla każdego z przypadków wyliczyć \(\displaystyle{ \sin x}\).

[Lajmer]

a mógłbyś to jakoś troszke zaprezentowac , bo mimo rad nie jestem w stanie tego zrobić. Pozdrawiam

[loitzl9006]

\(\displaystyle{ \tg \alpha = \sqrt{2} -1 \\ \frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } = \sqrt{2} -1 \\ \sin \alpha = \cos \alpha \cdot \left( \sqrt{2} -1 \right) \\ \sin ^{2} \alpha = \cos ^{2} \alpha \cdot \left( \sqrt{2} -1 \right) ^{2} \\ \sin ^{2} \alpha = \left( 1- \sin ^{2} \alpha \right) \cdot \left( \sqrt{2} -1 \right) ^{2} \\ \sin ^{2} \alpha = \left( 1- \sin ^{2} \alpha \right) \cdot \left( 3-2 \sqrt{2} \right) \\ \sin ^{2} \alpha = 3 - 2 \sqrt{2} - 3 \sin ^{2} \alpha + 2 \sqrt{2} \sin ^{2} \alpha \\ 4 \sin ^{2} \alpha - 2 \sqrt{2} \sin ^{2} \alpha = 3-2 \sqrt{2} \\ 3-2 \sqrt{2} = \left( 1- \sqrt{2}\right) ^{2} \\ \left( 4-2 \sqrt{2} \right) \cdot \sin ^{2} \alpha - \left( 1- \sqrt{2}\right) ^{2} = 0 \\ 4-2 \sqrt{2} = \sqrt{8 \cdot 2} - \sqrt{8} = \sqrt{8} \left( \sqrt{2} -1 \right) = - \sqrt{8}\left( 1- \sqrt{2} \right) \\ - \sqrt{8}\left( 1- \sqrt{2} \right) \cdot \sin ^{2} \alpha - \left( 1- \sqrt{2}\right) ^{2} = 0 \\ - \sqrt{8} \cdot \sin ^{2} \alpha - \left( 1- \sqrt{2} \right) = 0 \\ \sqrt{8} =2 \sqrt{2} \\ -2 \sqrt{2} \sin ^{2} \alpha = 1- \sqrt{2} \\ \sin ^{2} \alpha = \frac{ \sqrt{2} - 1 }{2 \sqrt{2} } \\ \sin ^{2} \alpha = \frac{ 2 - \sqrt{2} }{4} \\ \cos ^{2} \alpha + \sin ^{2} \alpha = 1 \Rightarrow \cos ^{2} \alpha = \frac{ 2 + \sqrt{2} }{4} \\ \sin \alpha = \sqrt{\frac{ 2 - \sqrt{2} }{4} } \vee \sin \alpha = - \sqrt{\frac{ 2 - \sqrt{2} }{4} } \\ \cos \alpha = \sqrt{\frac{ 2 + \sqrt{2} }{4} } \vee \cos \alpha = - \sqrt{\frac{ 2 + \sqrt{2} }{4} } \\ \tg \alpha > 0 \Rightarrow \alpha \in \left[ 0+2k \pi ; \frac{ \pi }{2} + 2k \pi \right] \vee \alpha \in \left[ \pi +2k \pi ; \frac{ 3 \pi }{2} + 2k \pi \right] ; k \in Z \\ \sin \alpha \cdot \cos \alpha > 0 \Rightarrow \sin \alpha \cdot \cos \alpha = \sqrt{\left( \frac{2+ \sqrt{2} }{4} \right)\left( \frac{2- \sqrt{2} }{4}\right) } \\ \sin \alpha \cdot \cos \alpha = \sqrt{ \frac{1}{4} - \frac{1}{8} } \\ \sin \alpha \cdot \cos \alpha = \sqrt{ \frac{1}{8} }}\)