3 tożsamości trygonometryczne

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
damian7154
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 18 maja 2011, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wlkp
Podziękował: 8 razy

3 tożsamości trygonometryczne

Post autor: damian7154 »

1. \(\displaystyle{ \frac{ \tg ^ {2} x}{1+ \tg ^ {2}x} \cdot \frac{1+ \ctg ^ {2}x}{ \ctg ^ {2}x} = tg ^{2} x}\)

2. \(\displaystyle{ \frac{1+2 \tg x - \tg ^ {2}x}{ \cos ^ {2}x + \sin 2 x} = \frac{1}{ \cos ^ {2}x}}\)

3. \(\displaystyle{ 1 - \frac{ \sin ^ {2}x}{1+ \ctg x } - \frac{ \cos ^ {2}x}{1+ \tg x } = \frac{1}{2} \sin ^ {2}x}\)

Ręcę mi opadają. Trygonometrię jeśli chodzi o wzory redukcyjne, wyznaczanie wartości rozumiem, ale tożsamości to dla mnie katusza. Jestem w klasie mat-fiz a nie mam pojęcia od czego się zabrać w tego typu zadaniach. Prosiłbym również o wskazówki jak rozumieć tego typu zadania.
Ostatnio zmieniony 13 lis 2011, o 13:27 przez , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. \sin i \cos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

3 tożsamości trygonometryczne

Post autor: »

Przekształcając lewe strony zacznij od zastąpienia \(\displaystyle{ \tg x = \frac {\sin x}{\cos x}, \ctg x=\frac{ \cos x}{\sin x}, \sin 2x = 2\sin x \cos x}\), a potem sprowadź do najprostszej postaci.

Q.
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

3 tożsamości trygonometryczne

Post autor: mmoonniiaa »

Ja mam taką propozycję:
\(\displaystyle{ 1) \ L=\frac{\tg^{2} x}{1+\tg^{2}x} \cdot \frac{1+ \frac{1}{\tg^{2}x}}{ \frac{1}{\tg^{2}x}} =\frac{\tg^{2} x}{1+\tg^{2}x} \cdot \left( 1+ \frac{1}{\tg^{2}x}\right) \tg^{2}x =...}\)
damian7154
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 18 maja 2011, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wlkp
Podziękował: 8 razy

3 tożsamości trygonometryczne

Post autor: damian7154 »

a \(\displaystyle{ tg^{2}x = \frac{sin^{2}x}{cos^2{x}}}\) ?
loitzl9006
Moderator
Moderator
Posty: 3050
Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Starachowice
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 816 razy

3 tożsamości trygonometryczne

Post autor: loitzl9006 »

To ja jeszcze do tego dodam, że w pierwszym przykładzie można powymnażać liczniki i mianowniki, a potem skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \tg ^{2} x \cdot \ctg ^{2} x = 1}\) i uprościć. Potem prawa strona: przedstawić \(\displaystyle{ \tg ^{2} x}\) jako \(\displaystyle{ \frac{\tg ^{2} x}{1}}\) , wymnożyć równanie "na krzyż" tak jak proporcje, i w ten sposób udowodniamy tożsamość.

edit. \(\displaystyle{ \tg ^{2} x = \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} \\ \ctg ^{2} x = \frac{\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x}}\)
damian7154
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 18 maja 2011, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wlkp
Podziękował: 8 razy

3 tożsamości trygonometryczne

Post autor: damian7154 »

mmoonniiaa pisze:Ja mam taką propozycję:
\(\displaystyle{ 1) \ L=\frac{\tg^{2} x}{1+\tg^{2}x} \cdot \frac{1+ \frac{1}{\tg^{2}x}}{ \frac{1}{\tg^{2}x}} =\frac{\tg^{2} x}{1+\tg^{2}x} \cdot \left( 1+ \frac{1}{\tg^{2}x}\right) \tg^{2}x =...}\)
Skorzystałem z tego i mi wyszło. Teraz proszę o wskazówki do 2 następnych
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

3 tożsamości trygonometryczne

Post autor: mmoonniiaa »

Czy w 2. w mianowniku nie powinno być \(\displaystyle{ \cos2x}\)?
\(\displaystyle{ \frac{1+2 \tg x - \tg ^ {2}x}{ \cos2x + \sin 2 x} = \frac{1}{ \cos^{2}x}}\)
damian7154
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 18 maja 2011, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wlkp
Podziękował: 8 razy

3 tożsamości trygonometryczne

Post autor: damian7154 »

mmoonniiaa pisze:Czy w 2. w mianowniku nie powinno być \(\displaystyle{ \cos2x}\)?
\(\displaystyle{ \frac{1+2 \tg x - \tg ^ {2}x}{ \cos2x + \sin 2 x} = \frac{1}{ \cos^{2}x}}\)
ja mam zapisane \(\displaystyle{ cos^{2}x}\)
Jeśli tak nie da się rozwiązać to możesz rozwiązać z c\(\displaystyle{ os2x}\)
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

3 tożsamości trygonometryczne

Post autor: mmoonniiaa »

Zależy, jakie było polecenie? Udowodnić tożsamości, czy sprawdzić tożsamości? Jeśli jest \(\displaystyle{ \cos^{2}x}\) to nie jest to tożsamość, a jeśli jest \(\displaystyle{ \cos2x}\) to jest to tożsamość.
Ale do rzeczy:
\(\displaystyle{ L=\frac{1+2 \tg x - \tg ^ {2}x}{ \cos2x + \sin 2 x} =\frac{ \frac{\cos^{2}x+2 \sin x \cos x -\sin^{2}x}{\cos^{2}x} }{ \cos2x + \sin 2 x}= \frac{\cos2x+\sin2x}{\cos^{2}x\left( \cos2x + \sin 2 x\right) } =...}\)
damian7154
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 18 maja 2011, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wlkp
Podziękował: 8 razy

3 tożsamości trygonometryczne

Post autor: damian7154 »

mmoonniiaa pisze:Zależy, jakie było polecenie? Udowodnić tożsamości, czy sprawdzić tożsamości? Jeśli jest \(\displaystyle{ \cos^{2}x}\) to nie jest to tożsamość, a jeśli jest \(\displaystyle{ \cos2x}\) to jest to tożsamość.
Ale do rzeczy:
\(\displaystyle{ L=\frac{1+2 \tg x - \tg ^ {2}x}{ \cos2x + \sin 2 x} =\frac{ \frac{\cos^{2}x+2 \sin x \cos x -\sin^{2}x}{\cos^{2}x} }{ \cos2x + \sin 2 x}= \frac{\cos2x+\sin2x}{\cos^{2}x\left( \cos2x + \sin 2 x\right) } =...}\)
Udowodnić. Nie rozumiem \(\displaystyle{ \frac{ \frac{\cos^{2}x+2 \sin x \cos x -\sin^{2}x}{\cos^{2}x} }{ \cos2x + \sin 2 x}= \frac{\cos2x+\sin2x}{\cos^{2}x\left( \cos2x + \sin 2 x\right) }}\) Skąd takie a nie inne przekształcenie
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

3 tożsamości trygonometryczne

Post autor: mmoonniiaa »

Bo:
\(\displaystyle{ \cos^{2}x+2 \sin x \cos x -\sin^{2}x=\cos^{2}x-\sin^{2}x+2 \sin x \cos x =\cos2x-\sin2x}\)

Na pewno znasz wzory:
\(\displaystyle{ \cos2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x \\
\sin2x=2 \sin x \cos x}\)
damian7154
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 18 maja 2011, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wlkp
Podziękował: 8 razy

3 tożsamości trygonometryczne

Post autor: damian7154 »

mmoonniiaa pisze:Bo:
\(\displaystyle{ \cos^{2}x+2 \sin x \cos x -\sin^{2}x=\cos^{2}x-\sin^{2}x+2 \sin x \cos x =\cos2x-\sin2x}\)

Na pewno znasz wzory:
\(\displaystyle{ \cos2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x \\
\sin2x=2 \sin x \cos x}\)
Na \(\displaystyle{ cos2x}\) nie znałem. Dzięki. Tylko to wrzucenie \(\displaystyle{ cos ^{2} x}\) do do mianownika tak dziwnie wygląda, ale jest ok. Została ostatnia tożsamość.

Chciałbym was spytać o radę. Jak mam zrobioną tożsamość to wszystko rozumiem skąd się co bierze. Ale jak mam sam zrobić to leże i kwicze bo nie wiem za co się pierwsze zabrać.

//edit:
jeszcze raz przyjrzałem się tej tożsamości.
\(\displaystyle{ 2tgx= \frac{2sinxcosx}{cos^{2}x}}\) ?
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

3 tożsamości trygonometryczne

Post autor: mmoonniiaa »

damian7154 pisze:Tylko to wrzucenie \(\displaystyle{ cos ^{2} x}\) do do mianownika tak dziwnie wygląda, ale jest ok.
Podzielić to znaczy pomnożyć przez odwrotność.

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{\cos^{2}x+2 \sin x \cos x -\sin^{2}x}{\cos^{2}x} }{ \cos2x + \sin 2 x}= \frac{\cos^{2}x+2 \sin x \cos x -\sin^{2}x}{\cos^{2}x} \cdot \frac{1}{ \cos2x + \sin 2 x}= \frac{\cos2x+\sin2x}{\cos^{2}x\left( \cos2x + \sin 2 x\right) }}\)
damian7154
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 18 maja 2011, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wlkp
Podziękował: 8 razy

3 tożsamości trygonometryczne

Post autor: damian7154 »

mmoonniiaa pisze:
damian7154 pisze:Tylko to wrzucenie \(\displaystyle{ cos ^{2} x}\) do do mianownika tak dziwnie wygląda, ale jest ok.
Podzielić to znaczy pomnożyć przez odwrotność.

\(\displaystyle{ \frac{ \frac{\cos^{2}x+2 \sin x \cos x -\sin^{2}x}{\cos^{2}x} }{ \cos2x + \sin 2 x}= \frac{\cos^{2}x+2 \sin x \cos x -\sin^{2}x}{\cos^{2}x} \cdot \frac{1}{ \cos2x + \sin 2 x}= \frac{\cos2x+\sin2x}{\cos^{2}x\left( \cos2x + \sin 2 x\right) }}\)
Dzięki, rozumiem. Teraz poproszę o pomoc z 3 tożsamością bo widać, że mam braki we wzorach. Czy \(\displaystyle{ tgx=1-ctgx}\) ?
Awatar użytkownika
mmoonniiaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5482
Rejestracja: 21 lis 2007, o 19:53
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1470 razy

3 tożsamości trygonometryczne

Post autor: mmoonniiaa »

W 3. też po prawej powinno być \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sin 2x}\)

No to tak:
\(\displaystyle{ L=1- \frac{\sin^2x}{1+ \frac{1}{\tg x}} - \frac{\cos^2x}{1+\tg x} } =1-\frac{\sin^2x}{\frac{\tg x+1}{\tg x}} - \frac{\cos^2x}{1+\tg x} }= \frac{\tg x +1 }{\tg x + 1} -\frac{\tg x \sin^2x}{\tg x+1} - \frac{\cos^2x}{1+\tg x} }= \frac{\tg x +1 -\tg x \sin^2x-\cos^2x}{\tg x +1} = ...}\)

Spróbuj teraz pozamieniać: \(\displaystyle{ \tg x = \frac{\sin x }{\cos x}}\), następnie w liczniku stwórz wspólna kreskę ułamkową z mianownikiem: \(\displaystyle{ \cos x}\)

A co do Twojego pytania, to: \(\displaystyle{ \tg x \neq 1- \ctg x}\), ale \(\displaystyle{ \tg x = \frac{1}{\ctg x}}\)
Ostatnio zmieniony 13 lis 2011, o 15:58 przez mmoonniiaa, łącznie zmieniany 2 razy.
ODPOWIEDZ