3 tożsamości trygonometryczne

damian7154 · Post autor: **damian7154** » 13 lis 2011, o 15:51

Właśnie coś mi nie wychodziło -- 13 lis 2011, o 16:09 --

mmoonniiaa pisze:W 3. też po prawej powinno być \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \sin 2x}\)

No to tak:
\(\displaystyle{ L=1- \frac{\sin^2x}{1+ \frac{1}{\tg x}} - \frac{\cos^2x}{1+\tg x} } =1-\frac{\sin^2x}{\frac{\tg x+1}{\tg x}} - \frac{\cos^2x}{1+\tg x} }= \frac{\tg x +1 }{\tg x + 1} -\frac{\tg x \sin^2x}{\tg x+1} - \frac{\cos^2x}{1+\tg x} }= \frac{\tg x +1 -\tg x \sin^2x-\cos^2x}{\tg x +1} = ...}\)

Spróbuj teraz pozamieniać: \(\displaystyle{ \tg x = \frac{\sin x }{\cos x}}\), następnie w liczniku stwórz wspólna kreskę ułamkową z mianownikiem: \(\displaystyle{ \cos x}\)

A co do Twojego pytania, to: \(\displaystyle{ \tg x \neq 1- \ctg x}\), ale \(\displaystyle{ \tg x = \frac{1}{\ctg x}}\)

Podstawiłem, ale z wyrażeniem \(\displaystyle{ -tgsin^{2}x-cos^{2}x}\) nie wiem co zrobić

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 13 lis 2011, o 16:21

\(\displaystyle{ - \tg x \sin^{2}x-\cos^{2}x=- \frac{\sin x}{\cos x} \sin^{2}x-\cos^{2}x=- \frac{\sin^3 x}{\cos x} - \frac{\cos^3 x}{\cos x}}\)
Powinieneś otrzymać coś takiego:
\(\displaystyle{ ...=\frac{ \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} - \frac{\sin^3 x}{\cos x} - \frac{\cos^3 x}{\cos x}}{ \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} }}\)

damian7154 · Post autor: **damian7154** » 13 lis 2011, o 16:32

I otrzymałem \(\displaystyle{ \frac{sinx+cosx-sin^{3}x-cos^{3}x}{sinx+cosx}}\)

Pozamieniałem, pozamieniałem i wyszło 1-1 = 0, no pięknie

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 13 lis 2011, o 16:48

To jest dobrze: \(\displaystyle{ \frac{\sin x+\cos x-\sin^{3}x-\cos^{3}x}{\sin x+\cos x}}\), ale czy zastosowałeś tu w liczniku wzór skróconego mnożenia na sumę sześcianów?

damian7154 · Post autor: **damian7154** » 13 lis 2011, o 17:31

Nie, tak mi wyszło z przekształceń. Możesz zrobić tę tożsamość do końca? Bo nie mam już dzisiaj siły, poza tym mam masę innych lekcji i czasowo stoję fatalnie

mmoonniiaa · Post autor: **mmoonniiaa** » 13 lis 2011, o 18:10

\(\displaystyle{ \frac{\sin x+\cos x-\sin^{3}x-\cos^{3}x}{\sin x+\cos x}=\frac{\sin x+\cos x-\left( \sin^{3}x+\cos^{3}x\right) }{\sin x+\cos x}=\\ \frac{ \sin x + \cos x - \left( \sin x + \cos x \right) \left( \sin^{2}x - \sin x \cos x + \cos^{2}x \right) }{\sin x+\cos x}=\frac{\sin x+\cos x-\left( \sin x+\cos x\right) \left( 1-\sin x\cos x \right) }{\sin x+\cos x}=\frac{\left( \sin x+\cos x\right) \left(1-\left( 1-\sin x\cos x \right) \right) }{\sin x+\cos x}=1-\left( 1-\sin x\cos x \right)=1-1+\sin x\cos x=\sin x\cos x= \frac{1}{2} \cdot 2\sin x\cos x= \frac{1}{2} \sin 2x}\)

damian7154 · Post autor: **damian7154** » 13 lis 2011, o 19:30

Dzięki wielkie tożsamość bardzo ciężka