równania elementarne

[alabamaa]

Witam!
Proszę o pomoc w zadaniu, w którym należy rozwiązać równania:

a)\(\displaystyle{ sinx-cosx=1}\)
próbowałam to rozwiązać poprzez podzielenie stronami przez 2, a potem miałam nadzieję, że da się zastosować wzory na cos(x+y) np. zamiast \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) dać sin30st., ale tu nie da sie zastosowac tego wzoru, więc już nie wiem...

b)\(\displaystyle{ cos4x+2cos ^{2}x=1}\)
tu z kolei zrobiłam tak: \(\displaystyle{ 2(2cos ^{2}x-1)+2cos ^{2} x=1}\)
i chciałam sprowadzić do równania kwadratowego, podkładając za\(\displaystyle{ cos ^{2} x=t}\), ale w dalszych obliczeniach nie udało mi się tego dokonać...


z góry dzięki za pomoc.

[florek177]

1. sin i cos zamień na kąty połówkowe z tg,

2. tu z kolei zrobiłam tak: \(\displaystyle{ 2(2cos ^{2}x-1)+2cos ^{2} x=1}\)

skąd się wzięła 2 przed nawiasem ?

[Skarfejs]

w b) skorzystaj z tożsamości
\(\displaystyle{ cos4x=8cos ^{4}x-8cos ^{2}x+1}\)
a dalej podstawienie takie jak proponowałeś

[Psiaczek]

b)\(\displaystyle{ cos4x+2cos ^{2}x=1}\)

Jeśli chcesz najkrótszej drogi żeby się nie pomylić :

\(\displaystyle{ \cos 4x+(2cos^2 x-1)=0}\) ,wzór na cosinus podwojonego

\(\displaystyle{ \cos 4x+cos 2x=0}\) ,wzór na sumę cosinusów

\(\displaystyle{ 2\cos 3x\cos x=0}\)


a w pierwszym jeśli chcesz ze wzorów, to pomnóż stronami przez \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) i pojawi się \(\displaystyle{ \sin(x- \frac{ \pi }{4})=\sin x\cos \frac{ \pi }{4} -\cos x\sin \frac{ \pi }{4}}\)

oczywiście można też pierwsze z jedynki trygonometrycznej.