wykazać tożsamości trygonometryczne

[Ralstin]

Przepraszam, że tak późno, ale czy mógłby mi ktoś pomóc z wykazaniem tożsamości trygonometrycznych? Nauka do jutrzejszego kolosa...


\(\displaystyle{ \arcsin(x) + \arccos(x)= \frac{ \pi }{2}, \mbox{ dla } x \in \langle -1,1\rangle}\)


\(\displaystyle{ arctg(x) + arcctg(x)=\frac{ \pi }{2}, \mbox{ dla } x \in \mathbb R}\)


\(\displaystyle{ arctg(x)=arcctg \left( \frac{1}{x} \right) , \mbox{ dla } x \neq 0}\)


Wogóle nie wiem jak się do tego zabrać, mózg już paruje...

[kropka+]

Wynikają ze wzorów redukcyjnych, kolejno:

\(\displaystyle{ \cos \left( \frac{ \pi }{2}- \alpha \right) =\sin \alpha \\
\tg \left( \frac{ \pi }{2}- \alpha \right) =\ctg \alpha}\)

i ze wzoru

\(\displaystyle{ \ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha }}\)

[Ralstin]

Ale jak mam to przenieść na arcusy?

[kropka+]

Np. pierwsze:

\(\displaystyle{ \arcsin x= \alpha \Rightarrow \sin \alpha =x\\
\arccos x= \beta \Rightarrow \cos \beta =x\\
\Rightarrow \sin \alpha = \cos \beta \wedge \alpha \in \left[ - \frac{ \pi }{ 2}, \frac{ \pi }{2} \right] \wedge \beta \in \left[ 0, \pi \right] \Rightarrow \beta = \frac{ \pi }{2}- \alpha
\Rightarrow \\ \\
\arcsin x+ \arccos x= \alpha + \frac{ \pi }{2}- \alpha = \frac{ \pi }{2}}\)