Wykaż że jeśli w trójkącie zachodzi związek to...

[xoyox]

Wykaż że jeśli w trójkącie zachodzi związek to jest on prostokątny
\(\displaystyle{ \sin\gamma= \frac{\sin \alpha +\sin\beta}{\cos\alpha+\cos\beta}}\)

[anna_]

\(\displaystyle{ \sin\gamma= \frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\alpha+\cos\beta}}\)
Wzory na sumę funkcji trygonometrycznych +
\(\displaystyle{ \alpha+\beta=180^o-\gamma}\)

[Psiaczek]

witam, domyślam się że chociaż zjadłaś oznaczenia, chodziło ci ( tradycyjnie w zapisie kątów literami A,B,C)

o to , że z warunku \(\displaystyle{ \sin C= \frac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B}}\) ma wynikać istnienie kąta prostego

przekształcając ze wzorów sumacyjnych sinusów i cosinusów mamy: \(\displaystyle{ (A+B+C= \pi )}\)

\(\displaystyle{ \sin C= \frac{2\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} }{2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2} }=\tan \frac{A+B}{2}=\tan \left( \frac{ \pi }{2}- \frac{C}{2}\right) =\ctg \frac{C}{2}}\)

czyli patrząc na początek i koniec :

\(\displaystyle{ 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}= \frac{\cos \frac{C}{2} }{\sin \frac{C}{2} }}\)

\(\displaystyle{ 2\ sin^2 \frac{C}{2}=1,\sin^2 \frac{C}{2}= \frac{1}{2}}\)

ale \(\displaystyle{ 0< \frac{ C }{2}< \frac{ \pi }{2}}\) stąd \(\displaystyle{ \sin \frac{C}{2}= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) i dalej

\(\displaystyle{ \frac{C}{2}= \frac{ \pi }{4} ,C= \frac{ \pi }{2}}\)

[xoyox]

tak rzeczywiście już poprawiłam;) dziękuje za pomoc:)

[xenoneq_o0]

witam, domyślam się że chociaż zjadłaś oznaczenia, chodziło ci ( tradycyjnie w zapisie kątów literami A,B,C)

o to , że z warunku \(\displaystyle{ \sin C= \frac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B}}\) ma wynikać istnienie kąta prostego

przekształcając ze wzorów sumacyjnych sinusów i cosinusów mamy: \(\displaystyle{ (A+B+C= \pi )}\)

\(\displaystyle{ \sin C= \frac{2\sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} }{2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2} }=\tan \frac{A+B}{2}=\tan \left( \frac{ \pi }{2}- \frac{C}{2}\right) =\ctg \frac{C}{2}}\)

czyli patrząc na początek i koniec :

\(\displaystyle{ 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}= \frac{\cos \frac{C}{2} }{\sin \frac{C}{2} }}\)

\(\displaystyle{ 2\ sin^2 \frac{C}{2}=1,\sin^2 \frac{C}{2}= \frac{1}{2}}\)

ale \(\displaystyle{ 0< \frac{ C }{2}< \frac{ \pi }{2}}\) stąd \(\displaystyle{ \sin \frac{C}{2}= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) i dalej

\(\displaystyle{ \frac{C}{2}= \frac{ \pi }{4} ,C= \frac{ \pi }{2}}\)

Skąd wziąłeś
\(\displaystyle{ 2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}= \frac{\cos \frac{C}{2} }{\sin \frac{C}{2} }}\)?
widzę, że zamieniłeś cotangens na cosinus przez sinus, ale skąd się wzięło wyrażenie po lewej stronie równania ?

[Janusz Tracz]

Inaczej:

• z tw sinusów mamy natychmiast, że równość z treści zadania jest równoważna równości
  
  \(\displaystyle{ c= \frac{a+b}{\cos \alpha +\cos \beta }, }\)

• z twierdzenia cosinusów wiemy, że \(\displaystyle{ \cos \alpha =(b^2+c^2-a^2)/(2bc)}\) oraz \(\displaystyle{ \cos \beta =(a^2+c^2-b^2)/(2ac)}\)

Zatem równoważnie wiemy, że

\(\displaystyle{ c= \frac{a+b}{ \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+ \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} }.}\)

Prawa strona po żmudnych aczkolwiek rutynowych rachunkach upraszcza się do \(\displaystyle{ 2abc/(c^2-(a-b)^2)}\). Stąd łatwo już widać, że równoważnie otrzymaliśmy

\(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2}\)

co na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa kończy dowód.

Dodano po 21 minutach 9 sekundach:
aha to jest 2011...

[Psiaczek]

Jakiś archeolog mnie odkopał po 12 latach wow... dobry człowieku, to się wzięło ze wzoru na sinus podwojonego kąta , tylko argumenty zostały o połowę zmniejszone z jednej i z drugiej strony