Wykaż że w dowolnych trójkątach o kątach \(\displaystyle{ \alpha , \beta , \gamma}\) zachodzi związek
\(\displaystyle{ \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma= 1+4\sin \frac{ \alpha }{2} \cdot \sin \frac{ \beta }{2} \cdot \sin \frac{\gamma}{2}}\)
Wykaż że w trójkątach zachodzą związki
-
Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Wykaż że w trójkątach zachodzą związki
będę używał na kąty liter A,B,C żeby było szybciej pisać
\(\displaystyle{ C= \pi -(A+B)}\)
\(\displaystyle{ \cos C=-\cos (A+B)}\)
\(\displaystyle{ L=\cos A+\cos B -\cos (A+B)=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}-\cos (A+B)=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}-(2\cos^2 \frac{A+B}{2} -1)=1+2\cos \frac{A+B}{2}(\cos \frac{A-B}{2} -\cos \frac{A+B}{2} )=(***)=1+2\sin \frac{C}{2}2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}=P}\)
\(\displaystyle{ (***) \frac{C}{2}= \frac{ \pi }{2} - \frac{A+B}{2} ,\sin \frac{C}{2}=\cos ( \frac{A+B}{2})}\)
\(\displaystyle{ C= \pi -(A+B)}\)
\(\displaystyle{ \cos C=-\cos (A+B)}\)
\(\displaystyle{ L=\cos A+\cos B -\cos (A+B)=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}-\cos (A+B)=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}-(2\cos^2 \frac{A+B}{2} -1)=1+2\cos \frac{A+B}{2}(\cos \frac{A-B}{2} -\cos \frac{A+B}{2} )=(***)=1+2\sin \frac{C}{2}2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}=P}\)
\(\displaystyle{ (***) \frac{C}{2}= \frac{ \pi }{2} - \frac{A+B}{2} ,\sin \frac{C}{2}=\cos ( \frac{A+B}{2})}\)