równanie z parametrem

alpinus · Post autor: **alpinus** » 24 sty 2007, o 20:16

dla jakich $\displaystyle{ $m$}$ gdzie $\displaystyle{ $m\in R$}$
$\displaystyle{ $sin^6x+cos^6x=m$}$
ma rozwiązania

baksio · Post autor: **baksio** » 24 sty 2007, o 21:47

$\displaystyle{ sin^6x + cos^6x = (sin^2x)^3 + (cos^2x)^3 = (sin^2x + cos^2x)(sin^4x - sin^2x*cos^2x + cos^4x)=}$
$\displaystyle{ = (sin^2x + cos^2x)^2 - 3sin^2x*cos^2x = 1-3sin^2x*cos^2x = 1 - \frac{3}{4}(sin2x)^2}$

$\displaystyle{ 0 q (sin2x)^2 q 1}$
$\displaystyle{ 0 q -\frac{3}{4}(sin2x)^2 q -\frac{3}{4}}$
$\displaystyle{ 1 q -\frac{3}{4}(sin2x)^2 + 1\geq \frac{1}{4}}$
Czyli dla $\displaystyle{ m }$ równanie ma rozwiązania.

alpinus · Post autor: **alpinus** » 24 sty 2007, o 22:25

wszystko ok ale nie rozumiem tego przekształcenia $\displaystyle{ (sin^2x+cos^2x)^2-3sin^2x*cos^2x}$ dlaczego z tego poprzedniego tak wyszło

baksio · Post autor: **baksio** » 25 sty 2007, o 07:22

Zastosowałem tutaj wzór skróconego mnożenia jak podniesiesz to do kwadratu i odejmiesz to otrzymasz to poprzednie. Trzeba tak kombinować żeby szukać jedynki trygonometrycznej.