jak mam rozwiązać to rownanie bo nie mam pojecia?
\(\displaystyle{ \frac{1- \cos 8 x}{\sin ^{2}2x } \le 2}\)
nierownosc trygonometryczna
-
Lbubsazob
- Użytkownik
- Posty: 4672
- Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 124 razy
- Pomógł: 978 razy
nierownosc trygonometryczna
Pewnie można jakoś bardziej normalnie, ale mam taki pomysł:
\(\displaystyle{ 1-\cos 2x=1-\cos^2x+\sin^2x=2\sin^2x}\)
Tutaj mamy \(\displaystyle{ \cos 8x}\), więc wystarczy podstawić \(\displaystyle{ t=4x}\). Zostaje takie coś:
\(\displaystyle{ \frac{1-\cos 2t}{\sin^2 \frac{t}{2} }= \frac{2\sin^2 t}{\sin^2 \frac{t}{2} }}\)
Żeby było łatwiej, podstawiam \(\displaystyle{ u=2t}\) i zostaje:
\(\displaystyle{ \frac{2\sin^2 \left( 2u\right) }{\sin^2 u}= \frac{2^3\sin^2u\cos^2u}{\sin^2u}=8\cos^2u}\)
Pozostaje rozwiązać nierówność \(\displaystyle{ 8\cos^2u\le 2}\), powrócić do poprzednich zmiennych i uwzględnić założenia.
\(\displaystyle{ 1-\cos 2x=1-\cos^2x+\sin^2x=2\sin^2x}\)
Tutaj mamy \(\displaystyle{ \cos 8x}\), więc wystarczy podstawić \(\displaystyle{ t=4x}\). Zostaje takie coś:
\(\displaystyle{ \frac{1-\cos 2t}{\sin^2 \frac{t}{2} }= \frac{2\sin^2 t}{\sin^2 \frac{t}{2} }}\)
Żeby było łatwiej, podstawiam \(\displaystyle{ u=2t}\) i zostaje:
\(\displaystyle{ \frac{2\sin^2 \left( 2u\right) }{\sin^2 u}= \frac{2^3\sin^2u\cos^2u}{\sin^2u}=8\cos^2u}\)
Pozostaje rozwiązać nierówność \(\displaystyle{ 8\cos^2u\le 2}\), powrócić do poprzednich zmiennych i uwzględnić założenia.