obliczyć wyrażenie z funkcją cyklometryczną

[bluuu]

\(\displaystyle{ sin(arc tg 1 + arc tg 2)}\)

próbowałam liczyć to z \(\displaystyle{ sin( \alpha + \beta )}\), ale w ten sposób nigdy nie doprowadzę do wyrażenia składającego się z samych tangensów (za jedyne dane uznaję \(\displaystyle{ tg \alpha = 1, tg \beta =2}\), coś pominęłam?)
jak to ruszyć? proszę o pomoc

[pyzol]

Narysuj sobie trojkat, podstawa AB dlugosci 3 cm. Wysokosc CD na dlugosc 1 ustaw jeden centymetr od punktu A. Dorysuj boki. Przy wierzcholku C masz dwa katy, zobacz jakie sa tangensy tych katow.

[bluuu]

okej, ale co mi to daje? mam kąt \(\displaystyle{ \alpha + \beta}\) narysowany, ale nic mi to nie daje, ponad to nie chcę rozwiązać tego zadania z żadnymi rysunkami, mam do tego dojść analitycznie...

[pyzol]

jeszcze gdybym wiedzial co to znaczy analitycznie...
Pole trojkata wynosi \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) - podstawa razy wysokosc
Z drugiej strony \(\displaystyle{ P=|AC||BC|\sin{\alfa +\beta}}\)
\(\displaystyle{ |AC|=\sqrt{2},|BC=\sqrt{5}|}\) - pitagoras
przyrownujac pola wyliczysz sinusa. W sumie analitycznie rozwiazane

[bluuu]

analitycznie = nie rysując, nie korzystając więc z Pitagorasa może powiem jak policzyłam inny przykład...
\(\displaystyle{ sin(arc sin \frac{3}{4} + arcsin \frac{8}{17} )}\)

\(\displaystyle{ arcsin(\frac{3}{5}) = \alpha}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{3}{5}}\)
\(\displaystyle{ arcsin(\frac{8}{17})= \beta}\)
\(\displaystyle{ sin \beta = \frac{8}{17}}\)

\(\displaystyle{ sin(arc sin \frac{3}{4} + arcsin \frac{8}{17}) = sin ( \alpha + \beta ) = sin \alpha cos \beta + cos \alpha sin \beta = sin \alpha \cdot \sqrt{1- sin^{2} \beta } + sin \beta \cdot \sqrt{1-sin ^{2} \alpha } = 77/85}\)

i w ten deseń mam rozwiązać ten mój przykład przykład, ale nie wiem jak.

[pyzol]

Wiec zacznij od tangensa:
\(\displaystyle{ \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}}\)
Z drugiej strony:
\(\displaystyle{ \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\sqrt{1-\sin^2 \alpha}}}\)
z tego mozesz ulozyc rownanie. Problem moze pojawic sie ze znakami. Tangens wyjdzie Ci ujemny wiec moze to byc druga lub czwarta cwiartka...

[bluuu]

yyy, ale po co mi \(\displaystyle{ tg( \alpha + \beta )}\)? mam policzyć sinusa sumy kątów, raczej potrzebny byłby mi wzór na zamianę\(\displaystyle{ tg \alpha + tg \beta}\) w sinusa ;>