równanie trygonometryczne

[pacia1620]

a)
\(\displaystyle{ \sin ^{4} x+\cos ^{4} x= \sin x \cos x}\)

\(\displaystyle{ \left( 1-\cos ^{2} x \right) ^{2} +\cos ^{4} x= \sin x \cos x \\
2-2\cos ^{2} x+\cos ^{4} x+\cos ^{4} x= \sin x \cos x \\
2-2\cos ^{2} x+2\cos ^{4} x- \sin x \cos x =0 \\
-2\cos ^{2} x \left( 1-\cos ^{2} x \right) +2- \sin x \cos x =0}\)

i dlaej nie mam pojecia co robic...

[Lbubsazob]

Zauważ, że
\(\displaystyle{ \sin^4x+\cos^4x=(\sin^2x)^2+2\sin^2x\cos^2x+(\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x=\left( \sin^2x+\cos^2x\right)^2-2\sin^2x\cos^2x=1-2\sin^2x\cos^2x}\)

W takim razie zostaje równanie:
\(\displaystyle{ 1-2\sin^2x\cos^2x=\sin x\cos x \\
t=\sin x\cos x \\
1-2t^2=t}\)

[pacia1620]

troche nie rozumiem jak to jest rozpisane...

-- 6 lis 2011, o 17:53 --

juz wiem dziekuje 0

-- 6 lis 2011, o 17:58 --

aha jeszcze jedno mam pytanie bo poznije wyjdzie
\(\displaystyle{ \sin x \cos x= \frac{1}{2}}\)

i jka mam to rozwiazac?

[Lbubsazob]

Zauważ, że \(\displaystyle{ \sin x\cos x= \frac{1}{2} \cdot 2\sin x\cos x= \frac{1}{2}\sin 2x}\).
Czyli zostaje \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\sin 2x= \frac{1}{2}}\).