Kąt ostry równoległoboku ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). Odległość punktu przeciecia sie przekatnych od boków wynoszą m, n. Wyznacz pole i dł. przekatnych.
ładnie prosze o pomoc..
przekątne w równoległoboku
-
bartholdy
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 14 gru 2006, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 49 razy
przekątne w równoległoboku
Kąt przecięcia przekątnych w równoległoboku jest \(\displaystyle{ \alpha}\)?
Jeżeli nie to który to kąt przecięcia się równoległoboku ?
Połowy przekątnych oznaczyłem kolejno \(\displaystyle{ e,f}\) - dla łatwiejszych obliczeń, więc długości przekątnych to \(\displaystyle{ 2e, 2f}\).
Obliczmy pole równoległoboku.
\(\displaystyle{ p = \frac{1}{2}2e\cdot2 f\sin\alpha = 2ef\sin\alpha}\)
Pole równoległoboku to także podwojona suma pól trójkąta o podstawie \(\displaystyle{ a}\) i wysokości \(\displaystyle{ n}\) oraz trójkąta o podstawie \(\displaystyle{ b}\) i wysokości \(\displaystyle{ m}\).
\(\displaystyle{ p = 2(\frac{1}{2}a n+\frac{1}{2}b m) = bm + bn}\)
Przyrównując mamy.
\(\displaystyle{ bm+an = 2ef\sin\alpha}\)
Z Tw. Cosinusów.
\(\displaystyle{ b^2 = e^2+f^2-2ef\cos\alpha\\
b = \sqrt{e^2+f^2-2ef\cos\alpha}\\\\
a^2 = e^2+f^2-2ef\cos(180^\circ - )\\
a = \sqrt{e^2+f^2+2ef\cos\alpha}}\)
Pozostaje rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
a = \sqrt{e^2+f^2+2ef\cos\alpha}\\
b = \sqrt{e^2+f^2-2ef\cos\alpha}\\
bm+an = 2ef\sin\alpha
\end{array}}\)
Jeżeli nie to który to kąt przecięcia się równoległoboku ?
Połowy przekątnych oznaczyłem kolejno \(\displaystyle{ e,f}\) - dla łatwiejszych obliczeń, więc długości przekątnych to \(\displaystyle{ 2e, 2f}\).
Obliczmy pole równoległoboku.
\(\displaystyle{ p = \frac{1}{2}2e\cdot2 f\sin\alpha = 2ef\sin\alpha}\)
Pole równoległoboku to także podwojona suma pól trójkąta o podstawie \(\displaystyle{ a}\) i wysokości \(\displaystyle{ n}\) oraz trójkąta o podstawie \(\displaystyle{ b}\) i wysokości \(\displaystyle{ m}\).
\(\displaystyle{ p = 2(\frac{1}{2}a n+\frac{1}{2}b m) = bm + bn}\)
Przyrównując mamy.
\(\displaystyle{ bm+an = 2ef\sin\alpha}\)
Z Tw. Cosinusów.
\(\displaystyle{ b^2 = e^2+f^2-2ef\cos\alpha\\
b = \sqrt{e^2+f^2-2ef\cos\alpha}\\\\
a^2 = e^2+f^2-2ef\cos(180^\circ - )\\
a = \sqrt{e^2+f^2+2ef\cos\alpha}}\)
Pozostaje rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}
a = \sqrt{e^2+f^2+2ef\cos\alpha}\\
b = \sqrt{e^2+f^2-2ef\cos\alpha}\\
bm+an = 2ef\sin\alpha
\end{array}}\)
-
beatrix-x
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 7 lis 2006, o 22:09
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Sopot
- Podziękował: 1 raz
przekątne w równoległoboku
ten kąt ostry alfa to jest równoległoboku... a to m i n są w lini prostej do boków rownoległoboku.. bynajmniej ja tam odczytuje to zadanie
-
bartholdy
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 14 gru 2006, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 49 razy
przekątne w równoległoboku
To zmienia postać rzeczy
Tak, odcinki m i n będą prostopadłe do boków.
Zauważmy, że wysokość jest równa \(\displaystyle{ 2n}\).
\(\displaystyle{ sin\alpha = \frac{2n}{b} \quad\Rightarrow\quad b = \frac{2n}{\sin\alpha}}\).
Porównajmy pola.
\(\displaystyle{ 2n\cdot a = \frac{1}{2}\frac{2n}{\sin\alpha}+\frac{1}{2}an}\) stąd o ile się nie pomyliłem \(\displaystyle{ a = \frac{2m}{3\sin\alpha}}\)
Mamy już \(\displaystyle{ a\quad i\quad b}\).
Z tw. cosinusów.
\(\displaystyle{ 4e^2 = (\frac{2n}{\sin\alpha})^2 + (\frac{2m}{3\sin\alpha})^2 - 2(\frac{2n}{\sin\alpha})(\frac{2m}{3\sin\alpha})cos\alpha}\)
To samo na drugą przekątną.
Dalej sobie poradzisz. Pozdrawiam.
Tak, odcinki m i n będą prostopadłe do boków.
Zauważmy, że wysokość jest równa \(\displaystyle{ 2n}\).
\(\displaystyle{ sin\alpha = \frac{2n}{b} \quad\Rightarrow\quad b = \frac{2n}{\sin\alpha}}\).
Porównajmy pola.
\(\displaystyle{ 2n\cdot a = \frac{1}{2}\frac{2n}{\sin\alpha}+\frac{1}{2}an}\) stąd o ile się nie pomyliłem \(\displaystyle{ a = \frac{2m}{3\sin\alpha}}\)
Mamy już \(\displaystyle{ a\quad i\quad b}\).
Z tw. cosinusów.
\(\displaystyle{ 4e^2 = (\frac{2n}{\sin\alpha})^2 + (\frac{2m}{3\sin\alpha})^2 - 2(\frac{2n}{\sin\alpha})(\frac{2m}{3\sin\alpha})cos\alpha}\)
To samo na drugą przekątną.
Dalej sobie poradzisz. Pozdrawiam.