Trudniejsza niewrówność trygonometryczna

[bartek_ac]

Witam. Mam pewien problem z nierównością trg.
Mianowicie z \(\displaystyle{ \cos ( x)+ \tg ( x)<1+ \sin ( x)}\)
po przekształceniach otrzymuję:
\(\displaystyle{ \frac{( \cos ( x)-1)( \cos ( x)- \sin ( x))}{ \cos ( x)}<0}\)
i dalej nie wiem co z tym zrobić:(
Z góry dziękuję za pomoc

[chlorofil]

No to teraz już łatwo. Wystarczy siatkę znaków zrobić, dla każdego nawiasu i dla mianownika...

[bartek_ac]

Moge prosić o jakąś wskazówkę, bo nie mam pojęcia jak to zrobić.

[chlorofil]

No więc ja to widzę tak. Twoja nierówność jest równoważna nierówności:

\(\displaystyle{ (\cos x - \sin x)(\cos x - 1)\cos x < 0}\)

A ta jest spełniona, gdy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \cos x - \sin x > 0 \\ \cos x - 1 > 0 \\ \cos x < 0 \end{cases} \vee \begin{cases} \cos x - \sin x > 0 \\ \cos x - 1 < 0 \\ \cos x > 0 \end{cases} \vee \begin{cases} \cos x - \sin x < 0 \\ \cos x - 1 > 0 \\ \cos x > 0 \end{cases} \vee \begin{cases} \cos x - \sin x < 0 \\ \cos x - 1 < 0 \\ \cos x < 0 \end{cases}}\)

Oczywiście, żeby uprościć sobie sprawę należy najpierw sobie rozwiązać równości, tak jak by było = zamiast < i > i zrobić wykresy.

Niestety nic prostszego tutaj mi nie przychodzi do głowy, ale może ktoś coś wymyśli, bo nie mówię, że nie da się...