Rozwiąż równanie

[pini]

Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ \sin x \cdot \cos x+\tg x=2,5\sin x}\).

Pozdrawiam.

[ares41]

Wszystko na jedną stronę i wyciągasz sinusa przed nawias.

[chris_f]

Oczywiście dziedzina \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi\}}\) i dalej
\(\displaystyle{ \sin x \cdot \cos x+\tg x=2,5\sin x}\)
\(\displaystyle{ \sin x\cdot\cos x+\frac{\sin x}{\cos x}-\frac52\sin x=0}\)
\(\displaystyle{ \sin x\left(\cos x+\frac{1}{\cos x}-\frac52\right)=0}\)
\(\displaystyle{ \sin x =0\vee \cos x+\frac{1}{\cos x}-\frac52=0}\)
\(\displaystyle{ x=k\pi}\) - jedna seria rozwiązań, a w drugim podstawiamy \(\displaystyle{ \cos x=t}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ t+\frac1t-\frac52=0}\)
\(\displaystyle{ t^2-\frac52t+1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=\frac{25}{4}-4=\frac94}\)
\(\displaystyle{ t=\frac12\vee t=2}\)
\(\displaystyle{ \cos x=\frac12 \vee\cos x=2}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\vee x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi}\)

[pini]

Dzięki za wyczerpujące rozwiązanie.