Rozwiąż równanie

pini · Post autor: **pini** » 3 lis 2011, o 22:55

Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ \frac{\cos x}{1-\sin x}+ \frac{1-\sin x}{\cos x}=4}\).

Proszę o wytłumaczenie
i rozwiązanie tego zad. "krok po kroku".

Pozdrawiam.

chlorofil · Post autor: **chlorofil** » 4 lis 2011, o 00:14

Na 100% dobrze przepisałaś?

Bo doszedłem do postaci:

\(\displaystyle{ \frac {\ctg x}{1-\sin x}=4}\)

ale na razie nie mam dalej pomysłu...

Jak nic lepszego się nie da wymyślić, to można tu zastosować uniwersalne podstawienie trygonometryczne, czyli:

\(\displaystyle{ t=\tg \frac{x}{2}\\\\ \sin x = \frac{2t}{1+t^2}\\ \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}}\)

pini · Post autor: **pini** » 4 lis 2011, o 00:28

Już poprawiłam. Zajmijmy się tym wieczorem, nie lubię nikogo męczyć nocą.

chlorofil · Post autor: **chlorofil** » 4 lis 2011, o 00:29

pini, to co teraz napisałaś (00:29) to już w ogóle nie jest równanie trygonometryczne. Popraw to porządnie, to spróbujemy rozwiązać. Tam na pewno coś innego jest w drugim składniku w mianowniku, a nie samo \(\displaystyle{ x}\)....

-- 4 lis 2011, o 00:35 --

OK, widze w kodzie co chciałaś napisać - znów jedynka trygonometryczna się przyda.

\(\displaystyle{ \frac{\cos ^2 x + (1 - \sin x)^2}{(1-\sin x)\cos x}=4\\
\cos ^2 x + 1 - 2 \sin x + \sin ^2 x = 4(1 - \sin x) \cos x\\
2 - 2\sin x = 4(1 - \sin x)\cos x\\
2(1 - \sin x) - 4(1 - \sin x)\cos x = 0\\
2(1-\sin x)(1 - 2\cos x) = 0}\)

Pamiętaj znów o dziedzinie!