nierówność trygonometryczna

[Jedwabisty]

wiedząc że \(\displaystyle{ x \in \left( 0, \frac{ \pi }{4} \right)}\) dowieść, że zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{\cos x}{ \sin ^ 2 x(\cos x - \sin x)} >8}\)

[Justka]

Równoważnie \(\displaystyle{ A=\frac{ \frac{\cos x}{\sin x} }{ \sin x (\cos x- \sin x) }>8}\), ponieważ \(\displaystyle{ (\cos x - \sin x)>0}\) dla iksów z podanego przedziału to korzystając z nierówności pomiędzy średnimi mamy \(\displaystyle{ A > \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{4}(\sin x + (\cos x - \sin x))^2} = \frac{4}{\sin x \cos x} = \frac{8}{\sin 2x }>8}\). Faktycznie \(\displaystyle{ \sin 2x}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0,\frac{\pi}{4})}\) przyjmuje wartości \(\displaystyle{ 0<\sin 2x < 1}\), zatem nierówność jest prawdziwa