rozwiąż nierówność

[pini]

Mam problem z następującymi nierównościami:
\(\displaystyle{ \ \sin x \le \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \ \sin x >- \frac{1}{2}}\)

Pozdrawiam.

[cosinus90]

Nie możesz tego zrobić graficznie?

[pini]

Nie za bardzo

[cosinus90]

Dlaczego?

[ymar]

Cześć, pini.

Cosinus90 ma rację, graficznie chyba najwygodniej takie nierówności sobie oglądać. Bez rysunku łatwo się pomylić.

Umiesz narysować sinusoidę, prawda? Jak nie, to masz jedną (czerwona linia).

Zastanówmy się nad pierwszym przykładem. Czy znasz jakiegoś iksa, którego sinus wynosi \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}?}\) Podpowiedź jest, że znasz oczywiście.

[pini]

Robię to w następujący sposób (niestety dla tego podpunktu nie wychodzi): \(\displaystyle{ - \pi + \frac{ \pi }{3}= \frac{-2 \pi }{3}}\)
czyli \(\displaystyle{ x \in \frac{2 \pi }{3}+2k \pi, \frac{- \pi }{3}+2k \pi}\). Nie zgadza się z odp.

-- 2 lis 2011, o 23:39 --

Zastanówmy się nad pierwszym przykładem. Czy znasz jakiegoś iksa, którego sinus wynosi \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}?}\) Podpowiedź jest, że znasz oczywiście.

Dzięki Oczywiście wiem dla \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\) i wykorzystałam to w moim powyższym przykładzie.

[ymar]

Robię to w następujący sposób (niestety dla tego podpunktu nie wychodzi): \(\displaystyle{ - \pi + \frac{ \pi }{3}= \frac{2 \pi }{3}}\)
czyli \(\displaystyle{ x \in \frac{2 \pi }{3}+2k \pi, \frac{- \pi }{3}+2k \pi}\). Nie zgadza się z odp.

Rozumiem.

Zwróć uwagę po pierwsze, że \(\displaystyle{ -\pi+\frac{ \pi }{3}= -\frac{2 \pi }{3}.}\) Zgubiłaś minus.

Ale myślę, że lepiej by było, żebyśmy zapomnieli o Twojej metodzie, bo jest niepoprawna. Zastanówmy się od początku.

Nie odpowiedziałaś na moje pytanie. Pytałem, czy znasz jakąś liczbę \(\displaystyle{ x,}\) taką że \(\displaystyle{ \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}.}\) Domyślam się z tego, co napisałaś, że wiesz, że taką liczbą jest na przykład \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}.}\)

Jak mówiłem, będziemy stosować metodę graficzną. To nie jest żadna mądra metoda. Chodzi po prostu o to, żeby narysować rysunek i na nim patrzeć, co się dzieje, żeby się nie pomylić.

Narysuj wykres funkcji sinus. Wiemy już, że ten wykres przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ \left(\frac{\pi}{3},\frac{\sqrt{3}}{2}\right).}\) Zaznacz ten punkt na wykresie. Przez ten punkt poprowadź prostą równoległą do osi OX. Zwróć uwagę, że liczby \(\displaystyle{ x}\) (a więc punkty na osi OX) spełniające Twoją nierówność to dokładnie te, dla których odpowiadające im punkty na wykresie leżą pod tą prostą lub na tej prostej. Jeżeli dobrze narysowałaś rysunek, to takie punkty powinny tworzyć przedziały. (Stąd moja uwaga o niepoprawności Twojego rozwiązania -- nie ma w nim słowa o przedziałach.)

Byłoby nieźle, gdybyś wykonany rysunek zeskanowała, wrzuciła na jakiś serwer i dała tu link, żeby ktoś mógł sprawdzić. Jeżeli nie możesz, to powiedz.

[pini]

Dziękuję bardzo za wyczerpującą odp.
Wykres już sobie narysowałam i wiem o co chodzi. Jednak coś nadal się nie zgadza.

Na wykresie zaznaczam np. obszar pod osią OY od \(\displaystyle{ \frac{- 2 \pi }{3}}\) do \(\displaystyle{ \frac{- \pi }{3}}\) i od \(\displaystyle{ \frac{4 \pi }{3}}\) do \(\displaystyle{ \frac{5 \pi }{3}}\).
Wnioskuję, że przedziały powtarzają się co \(\displaystyle{ 2 \pi}\), więc \(\displaystyle{ x \in ( \frac{-2 \pi }{3}+2k \pi , \frac{- \pi }{3}+k \pi)}\)

Wszystkie inne podpunkty rozwiązywałam poprawnie powyższą metodą. Niestety ten nie zgadza się z odp.

[ymar]

Dziękuję bardzo za wyczerpującą odp.
Wykres już sobie narysowałam i wiem o co chodzi. Jednak coś nadal się nie zgadza.

Na wykresie zaznaczam np. obszar pod osią OY od \(\displaystyle{ \frac{- 2 \pi }{3}}\) do \(\displaystyle{ \frac{- \pi }{3}}\) i od \(\displaystyle{ \frac{4 \pi }{3}}\) do \(\displaystyle{ \frac{5 \pi }{3}}\).
Wnioskuję, że przedziały powtarzają się co \(\displaystyle{ 2 \pi}\), więc \(\displaystyle{ x \in ( \frac{-2 \pi }{3}+2k \pi , \frac{- \pi }{3}+k \pi)}\)

Wszystkie inne podpunkty rozwiązywałam poprawnie powyższą metodą. Niestety ten nie zgadza się z odp.

Rzeczywiście, coś się nie zgadza. Dlatego prosiłem, żebyś dała link do rysunku -- tak byłoby znacznie łatwiej dojść, co jest nie tak. Postaraj się odpowiadać na pytania i prośby osób, które Ci pomagają. Bez tego ciężko, bo człowiek nie wie co i jak.

Ponieważ nie widzę obrazka, który narysowałaś (a więc tak naprawdę metody rozwiązania w tym przypadku), mogę tylko wnioskować z odpowiedzi, którą podałaś. Jest (dość mocno) błędna, więc sądzę, że metoda musi być niepoprawna.

Dwie rzeczy są tu uderzające. Po pierwsze, zakres liczb jakich użyłaś w swojej odpowiedzi. Jak słusznie zauważyłaś, dla sinusa wszystko się powtarza co dwa pi. Problem w tym, że odległość pomiędzy \(\displaystyle{ \frac{-2\pi}{3}}\) a \(\displaystyle{ \frac{5\pi}{3}}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{3},}\) a więc więcej niż \(\displaystyle{ 2\pi}\) (bo \(\displaystyle{ 2\pi=\frac{6\pi}{3},}\) czyli o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) mniej).

Stąd pytanie: na jakim przedziale rozwiązywałaś tą nierówność? Zazwyczaj (choć nie jest to obowiązkowe) rozwiązuje się takie nierówności najpierw na przedziale \(\displaystyle{ (-\pi,\pi]}\) albo na przedziale \(\displaystyle{ [0,2pi),}\) a potem, tak jak Ty to zrobiłaś, wszystko przesuwa się o \(\displaystyle{ 2k\pi.}\) To co tu jest istotne to to, że oba przedziały, \(\displaystyle{ (-\pi,\pi]}\) i \(\displaystyle{ [0,2pi),}\) mają długość \(\displaystyle{ 2\pi.}\)

Druga rzecz, która mnie zastanawia w Twoim rozwiązaniu to fakt, że nie ma w nim nigdzie liczby \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}.}\) Ewidentnie powinna się w nim pojawić.

Spróbuj jeszcze raz, uważnie, przeczytać mój poprzedni post, szczególnie ten fragment, w którym piszę, jak wykonać rysunek. Jeżeli czegoś nie rozumiesz, to powiedz.