Rozwiąż równanie

[sejman]

Proszę o pomoc lub rozwiązanie tego równania:
\(\displaystyle{ 1+ \frac{1}{2 \sin x}+ \frac{1}{4 \sin ^ {2}x }+...= \frac{2}{ \sin x }}\)
Stwierdziłem , że lewa część tego równania to ciąg geometryczny, tylko że jak użyje wzoru na sumę n wyrazów to mi nic nie da bo wprowadzę 2 zmienną. Pomóżcie

[chlorofil]

Jaką drugą zmienną? Zmienną w tym równaniu jest \(\displaystyle{ x}\) przecież... Pokaż swoje obliczenia, to pomożemy.

[sejman]

Lewą stronę próbowałem przekształcić z wzoru na sumę n- wyrazów ciągu geometrycznego gdzie:
\(\displaystyle{ q= \frac{1}{2 \sin x }}\) a \(\displaystyle{ a_{1}= 1}\)
otrzymałem po przekształceniach coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{1- \left(\frac{1}{2 \sin x } \right)^{n} }{1- \frac{1}{2 \sin x } }= \frac{2}{ \sin x }}\)
no i niewiadomą dla mnie jest tutaj \(\displaystyle{ n}\)

[chlorofil]

Przecież jest wielokropek. Musisz to przekształcić do nieskończonego ciągu geometrycznego zbieżnego.

[sejman]

to mi coś mówi, ale jakiś początek jakbyś zarzucił to byłoby fajnie

[chlorofil]

Suma niskończonego ciągu geometrycznego wynosi:

\(\displaystyle{ S_ \infty = \frac{a_1}{1-q}}\), przy założeniu: \(\displaystyle{ \left| q\right| < 1}\).

W Twoim przypadku będzie:

\(\displaystyle{ a_1=1\\q=\frac{1}{2\sin x}\\S_\infty=\frac{1}{1-\frac{1}{2\sin x}}=\frac{2\sin x}{2\sin x - 1}}\)

przy założeniu:
\(\displaystyle{ -1<\frac{1}{2\sin x}<1}\)

Teraz wystarczy rozwiązać nierówność i w przedziale jej rozwiązalności podstawić za lewą stronę \(\displaystyle{ S_\infty}\).

[kanguro]

Męczę się obecnie z tym samym zadaniem.

Z założenia \(\displaystyle{ \left| q\right| < 1}\) uzyskałem takie przedziały \(\displaystyle{ sinx \in (0, \frac{1}{2} ) \cap [sinx \in (- 1, - \frac{1}{2}) \cup (0, 1)]}\), czyli \(\displaystyle{ x \in (0, \frac{ \pi }{6}) \cup ( \frac{5}{6} \pi , \pi )}\).

Po przyrównaniu sumy tego szeregu do \(\displaystyle{ \frac{2}{sinx}}\) uzyskałem \(\displaystyle{ sinx = 1}\), czyli \(\displaystyle{ x = k \pi}\) - sprzeczność z założeniem. Czy ktoś mógłby to skonfrontować? Mam wrażenie że robię gdzieś jakiś debilny błąd.

Pozdrawiam

[chlorofil]

Pokażcie swoje obliczenia! Wtedy skonfrontujemy!

[kanguro]

\(\displaystyle{ 1 + \frac{1}{2sinx} + \frac{1}{4 sin^{2}x } + ... = \frac{2}{sinx}\ \ \ \ D: x \neq k \pi}\)
Dane:
\(\displaystyle{ a_{1} = 1, \ \ \ \ q = \frac{1}{2 sinx},\ \ \ \ \ \left| q\right| < 1}\)
Wzór na sumę szeregu:
\(\displaystyle{ S = \frac{a _{1} }{1 - q}}\)

Założenia:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2sinx} < 1\ \ \ \ \ \ \wedge\ \ \ \ \ \ \frac{1}{2sinx} > - 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2sinx} - \frac{2sinx}{2sinx} < 0\ \ \ \ \ \ \wedge\ \ \ \ \ \ \frac{1}{2sinx} + \frac{2sinx}{2sinx} > 0}\)

\(\displaystyle{ 2sinx(1 - 2sinx) < 0\ \ \ \ \ \ \wedge\ \ \ \ \ \ sinx(1 + 2sinx) > 0}\)
\(\displaystyle{ sinx \in (0, \frac{1}{2})\ \ \ \ \ \ \wedge\ \ \ \ \ \ sinx \in (-1, - \frac{1}{2}) \cup (0, 1)}\)
Z wykresu funkcji sinus odczytuję, że:
\(\displaystyle{ }\)
\(\displaystyle{ x \in (0, \frac{ \pi }{6}) \cup ( \frac{5}{6} \pi, \pi ) \ \ \ \ \ \ \wedge\ \ \ \ \ \ x \in (0, \pi ) \cup ( \frac{7}{6} \pi , \frac{11}{6} \pi)}\)
Czyli zakładam że:
\(\displaystyle{ x \in (0, \frac{ \pi }{6}) \cup ( \frac{5}{6} \pi, \pi )}\)


Obliczenia:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 - \frac{1}{2sinx} } = \frac{2}{sinx}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2sinx}{2sinx - 1} = \frac{2}{sinx}\ \ \ \ \ \ sinx \neq \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ sin ^{2}x - 2sinx + 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ (sinx - 1) ^{2} = 0}\)
\(\displaystyle{ sinx = 1}\)
\(\displaystyle{ x = k \pi \ni D}\)

Wynik jest sprzeczny zarówno z założeniem, jak i dziedziną równania.

[chlorofil]

No to równanie nie ma rozwiązań. Spojrzałem pobieżnie na obliczenia i są ok. Nie ma tu specjalnej filozofii...

[kanguro]

No i dzięki bardzo

[sejman]

Z wykresu funkcji sinus odczytuję, że:
\(\displaystyle{ }\)
\(\displaystyle{ x \in (0, \frac{ \pi }{6}) \cup ( \frac{5}{6} \pi, \pi ) \ \ \ \ \ \ \wedge\ \ \ \ \ \ x \in (0, \pi ) \cup ( \frac{7}{6} \pi , \frac{11}{6} \pi)}\)
Czyli zakładam że:
\(\displaystyle{ x \in (0, \frac{ \pi }{6}) \cup ( \frac{5}{6} \pi, \pi )}\)

a nie powinno być na granicach przedziałów dodane \(\displaystyle{ +2k\pi}\)??

[chlorofil]

Powinno być.

[sejman]

A poza tym \(\displaystyle{ sinx=1}\)to nie jest \(\displaystyle{ x=k\pi}\) tylko \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{2} +2k\pi}\). Czy mam rację?

[chlorofil]

Masz. Nie sprawdzałem rachunków dokładnie.