Złozenie fnkcji

[zaq1]

Dane sa funkcje:
\(\displaystyle{ f(x)=log _{3}x}\)
\(\displaystyle{ g(x)=x ^{2}-1}\)
\(\displaystyle{ h(x)= \sqrt{x}}\)
Dostosowując Ewentualnie dziedziny,wykonaj następujące złożenie:
\(\displaystyle{ g \circ f ,f \circ g , g \circ f \circ g, f \circ f \circ f}\) i tu jest jeszcze kilka ale myślę ze resztę zrozumie na tych przykładach..


Potrafię składać funkcje ale nie wiem na czym polega dostosowanie dziedzin?
Proszę o rozwiązanie jakichś złożeń i napisanie co robimy z dziedzinami.

[chlorofil]

Dostosowanie dziedzin polega na tym, żeby złożenie miało sens liczbowy. Np. dziedziną funkcji \(\displaystyle{ g(x)}\) będzie oczywiście zbiór liczb rzeczywistych, ale jeśli weźmiemy złożenie \(\displaystyle{ f \circ g}\) to musimy sprawdzić dla jakich \(\displaystyle{ x}\) funkcja \(\displaystyle{ g(x)}\) przyjmuje wartości dodatnie, żeby to co będzie pod logarytmem miało sens liczbowy.

[zaq1]

no to załóżmy ze chce wykonać to złożenie \(\displaystyle{ f \circ g}\)
\(\displaystyle{ f(x)=log _{3}x}\) ; \(\displaystyle{ \ D _{f}=(0; \infty ) , Y _{f} =R}\)
\(\displaystyle{ g(x)=x ^{2}-1}\) ; \(\displaystyle{ \ D _{g}=R , Y _{g} =<-1; \infty )}\)

a żeby takie złożenie istniało musi być spełnione \(\displaystyle{ Y_{g} \subset D _{f}}\) ?

czy to zadanie polega na tym żeby porostu złożyć ta funkcje bez żadnego sprawdzania czy istnieje
\(\displaystyle{ f \circ g =f(x ^{2}-1)=log _{3} (x ^{2}-1)}\) a później po prostu określić dziedzinę dla której wyrażenie będzie miało sens liczbowy?

chyba ze pisze głupoty bo nie rozumie tego ..;/

[chlorofil]

Złożyłeś dobrze. Liczba pod logarytmem musi być dodatnia, a więc musisz rozwiązać nierówność:

\(\displaystyle{ x^2-1>0}\) i rozwiązanie tej nierówności będzie dziedziną funkcji \(\displaystyle{ f \circ g}\), ponieważ dziedziną funkcji \(\displaystyle{ g(x)}\) jest zbiór liczb rzeczywistych (a więc nie trzeba żadnych dodatkowych założeń).

[zaq1]

a wezmy inne zlozenie \(\displaystyle{ g \circ f \circ g}\)

\(\displaystyle{ g \circ f \circ g =g(f(g(x)))=g(f( x^{2} -1))=g(log _{3} ( x^{2} -1))= (log _{3} ( x^{2} -1))^{2}-1}\) i tutej dziedzina jest taka sama jak w zlozeniu \(\displaystyle{ f \circ g}\)
\(\displaystyle{ x^2-1>0}\)
\(\displaystyle{ x>1}\)
\(\displaystyle{ D _{g \circ f \circ g} = (-\infty, -1) \cup (1,\infty)}\)

czyli jednym słowem w takiego typu zadaniu nie sprawdzamy czy istnieje takie złożenie z takiego założenia\(\displaystyle{ Y_{g} \subset D _{f}}\) czy \(\displaystyle{ Y_{f} \subset D _{g}}\)? tylko po prostu składamy funkcje jak leci a później określamy dziedzinę dla której będzie to złożenie miało sens liczbowy i tyle?

[chlorofil]

Tak, dokładnie tak. Tutaj też będzie \(\displaystyle{ x>1}\).-- 3 lis 2011, o 21:04 --Ale zaraz: \(\displaystyle{ x^2-1>0}\) to nie tylko przedział \(\displaystyle{ (1, \infty)}\), ale również \(\displaystyle{ (-\infty, -1)}\).

[zaq1]

wiem zauważyłem to ponieważ
\(\displaystyle{ x ^{2} -1>0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)(x+1)>0}\)
\(\displaystyle{ x =(1, \infty) \cup (-\infty, -1)}\)

moje niedopatrzenie