Określić dziedzinę i zbiór wartości funkcji

[witek2012]

Określić dziedzinę i zbiór wartości funkcji

a) \(\displaystyle{ f(x)2arcsin \frac{1-x}{3}}\)

D: \(\displaystyle{ 3 \neq 0}\) \(\displaystyle{ x \in R \setminus \left\{ 3\right\}}\)

b) \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{1-logx}}\)

D: \(\displaystyle{ 1-logx \ge 0}\)

\(\displaystyle{ logx \ge 1}\)

\(\displaystyle{ x \le \frac{1}{log}}\)

\(\displaystyle{ x \in R\left\{ \frac{1}{log} \right\}}\)

c) \(\displaystyle{ f(x)= \frac{5}{4+ x^{2} }}\)

D: \(\displaystyle{ 4+x ^{2} \neq 0}\)

\(\displaystyle{ (x+2)(x-2) \neq 0}\)

\(\displaystyle{ x \neq -2 i x \neq 2}\)

\(\displaystyle{ x \in R \setminus \left\{ -2\right\}\left\{ 2\right\}}\)

d) \(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{sinx}}\)

D: \(\displaystyle{ sinx \ge 0}\) \(\displaystyle{ x \le sin}\)

Nie wiem czy to jest dobrze ?

[loitzl9006]

źle.

Jaką dziedzinę ma funkcja \(\displaystyle{ \arcsin}\) ?

[witek2012]

\(\displaystyle{ arcsin[-1,1]}\)

\(\displaystyle{ -1 \le \frac{1-x}{3} \le 1}\)

\(\displaystyle{ -3 \le 1-x \le 3}\)

\(\displaystyle{ -2 \le 1-x \le 4}\)

nie wiem czy to o to chodzi ?

[loitzl9006]

dobrze myślisz, o to chodzi. I jeszcze rozbij nierówność \(\displaystyle{ -1 \le \frac{1-x}{3} \le 1}\) na dwie nierówności.

Spróbuj zapisać dziedzinę (rozwiązanie tych dwóch nierówności) w postaci przedziału:

\(\displaystyle{ x \in ...}\)

[witek2012]

\(\displaystyle{ 1-x \ge-1}\)

\(\displaystyle{ x \ge 2}\)

\(\displaystyle{ 1-x \le 1}\)

\(\displaystyle{ x \le 0}\)

\(\displaystyle{ x \in [2,0]}\)

[loitzl9006]

Nie za bardzo:

\(\displaystyle{ -1 \le \frac{1-x}{3} \le 1}\) - zapis taki informuje, że \(\displaystyle{ \frac{1-x}{3}}\) ma być większe lub równe \(\displaystyle{ -1}\) i jednocześnie mniejsze lub równe \(\displaystyle{ 1}\) . Możemy to zapisać następująco:

\(\displaystyle{ -1 \le \frac{1-x}{3} \le 1 \Leftrightarrow \frac{1-x}{3} \ge -1 \wedge \frac{1-x}{3} \le 1}\)



Teraz spróbuj rozwiązać. Jak dojdziesz do wyniku \(\displaystyle{ x \in \left[ -2;4 \right]}\) to znaczy że dobrze rozwiązałeś.

[witek2012]

\(\displaystyle{ 1-x \ge -3}\)

\(\displaystyle{ -x \ge -3-1}\)

\(\displaystyle{ x \le 4}\)


\(\displaystyle{ 1-x \le 3}\)

\(\displaystyle{ -x \le 3-1}\)

\(\displaystyle{ -x \le 2=x \ge -2}\)

\(\displaystyle{ x \in [-2,4]}\)

[loitzl9006]

W porządku. teraz zbiór wartości. Jakie wartości przyjmuje \(\displaystyle{ \arcsin}\) ?

[witek2012]

\(\displaystyle{ ZW =R}\)

nie wiem

[loitzl9006]

\(\displaystyle{ \arcsin}\) przyjmuje wartość najmniejszą równą \(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{2}}\) i wartość maksymalną równą \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) . a ty masz \(\displaystyle{ 2 \arcsin}\) z tego wniosek, że funkcja \(\displaystyle{ 2 \arcsin}\) przyjmuje wartość najmniejszą równą ... , a wartość maksymalną równą ... .

[witek2012]

\(\displaystyle{ - \pi , \pi}\)

czy mam to pomnożyć :

\(\displaystyle{ 2(1-x)}\)
\(\displaystyle{ -2(1-x)}\)

[loitzl9006]

dobrze : przedział \(\displaystyle{ \left[ - \pi ; \pi \right]}\) jest zbiorem wartości i koniec przykładu a).

Teraz b)

Przejście z \(\displaystyle{ 1-\log x \ge 0}\)

na

\(\displaystyle{ \log x \ge 1}\) jest złe.

[witek2012]

\(\displaystyle{ 1-logx \ge 0}\)

\(\displaystyle{ x \le 1-log}\)

[loitzl9006]

tak to do niczego nie dojdziemy. \(\displaystyle{ \log x}\) traktujemy jako całość. Wartość tego jest potęgą, do jakiej należy podnieść liczbę \(\displaystyle{ 10}\) , aby otrzymać \(\displaystyle{ x}\) . W ogóle to dobrze by było jakbyś sobie poczytał coś o logarytmach, np. .

[witek2012]

\(\displaystyle{ 1-logx \ge 0}\)

\(\displaystyle{ 1-x \ge 0}\)

\(\displaystyle{ -x \ge -1}\)

\(\displaystyle{ x \le 1}\)

\(\displaystyle{ 0<x \le 1}\)