Założenia przy podnoszeniu do kwadratu

[pitergg]

Cześć,
Mam do rozwiązania taki przykład:
\(\displaystyle{ cos x - sin x = \sqrt{2}}\)
Jakie założenia powinienem przyjąć przy podnoszeniu do kwadratu? I jaki będzie ostateczny wynik w przedziale \(\displaystyle{ (-2 \pi ,2 \pi)}\)?

[kamil13151]

Założenie \(\displaystyle{ \cos x - \sin x>0}\).

Jednak o wiele łatwiej to "zwinąć".
\(\displaystyle{ \cos x - \sin x=\sqrt{2} \left( \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos x - \frac{ \sqrt{2} }{2}\sin x\right)=\sqrt{2} \left( \sin \frac{ \pi }{4} \cos x - \cos \frac{\pi }{4}\sin x\right)= \sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi }{4}-x \right)}\)

[pitergg]

Tzn? Skąd wzięło się? \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

[kamil13151]

Zauważ, że po pomnożeniu przez to co przed nawiasem uzyskamy wyjściową formę, po prostu coś takiego wziąłem by doprowadzić do pewnej postaci.

[Jan Kraszewski]

Jakie założenia powinienem przyjąć przy podnoszeniu do kwadratu?

Możesz nie przyjmować żadnych założeń, tylko zweryfikować poprawność otrzymanych odpowiedzi. I akurat w tym przypadku podniesienie do kwadratu to dość szybki sposób rozwiązania tego zadania.

JK

[pitergg]

Jeszcze tylko jak ktoś mógłby mi podać jakie będą ostateczne odpowiedzi?
Zbiór: \(\displaystyle{ (-2 \pi ,2 \pi)}\).

[kamil13151]

W tym zbiorze rozwiązaniami są: \(\displaystyle{ \left\{ -\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4} \right\}}\).

[pitergg]

Dlaczego \(\displaystyle{ \frac{7 \pi }{4}}\), a nie \(\displaystyle{ \frac{3 \pi }{4}}\)?

[kamil13151]

Okres funkcji sinus wynosi \(\displaystyle{ 2k \pi}\).

[pitergg]

Hm, więc w takim razie jak sprawnie zauważyć rozwiązanie?
Ja zapisałem sobie tak:
\(\displaystyle{ \sin 2 x = -1}\)
później znalazłem sobie na wykresie odpowiednie argumenty i zapisałem:
\(\displaystyle{ 2x= - \frac{ \pi }{2}}\)
\(\displaystyle{ 2x= - \frac{ 3 \pi }{2}}\)
Później to podzieliłem i wyszło mi:
\(\displaystyle{ x= - \frac{ \pi }{4}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{3 \pi }{4}}\)
Dla podanego przeze mnie wcześniej zakresu.
Gdzie robię błąd?

[kamil13151]

Skąd te \(\displaystyle{ \sin 2 x = -1}\) ? U nas mamy: \(\displaystyle{ \sqrt{2} \sin \left( \frac{\pi }{4}-x \right)=\sqrt{2}}\) czyli \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{\pi }{4}-x \right)=1}\)

Teraz \(\displaystyle{ \frac{\pi }{4}-x= \frac{\pi}{2} + 2k \pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}-2k \pi}\), oczywiście \(\displaystyle{ k \in C}\).

[pitergg]

Teraz rozwiązałem to podnosząc obustronnie do kwadratu i wyszło mi właśnie:
\(\displaystyle{ \sin 2 x = -1}\)
Jak to zrobić?

[kamil13151]

\(\displaystyle{ \sin 2 x = -1 \\
2x=- \frac{\pi}{2} + 2k \pi \Leftrightarrow x= - \frac{\pi}{4} + k \pi}\)
Z tego będzie: \(\displaystyle{ \left\{ - \frac{5 \pi}{4},- \frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4} \right\}}\) i musisz sprawdzić po kolei.

[pitergg]

No właśnie tylko jak to sprawdzić?

[kamil13151]

Chociażby tak, sprawdźmy czy \(\displaystyle{ \frac{3 \pi}{4}}\) jest rozwiązaniem.

\(\displaystyle{ \cos \frac{3 \pi}{4} =- \cos \frac{\pi}{4}= -\frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ \sin \frac{3 \pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4}= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

Podstawiając do \(\displaystyle{ \cos x - \sin x= \sqrt{2}}\) dostajemy sprzeczność.

Można też było stwierdzić znaki w poszczególnej ćwiartce i po tym wysunąć wniosek, że lewa strona ujemna. Jako, że odpada \(\displaystyle{ \frac{3 \pi}{4}}\) to i odpadnie nam: \(\displaystyle{ - \frac{5 \pi}{4}}\), ponieważ funkcje sinus i kosinus mają takie same okresy.