Równanie trygonometryczne

[h5n11]

\(\displaystyle{ \sin x - \cos x = 1}\)

Zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ \sin x - 1 = \sqrt{1 - \sin ^ {2}x} / ()^{2} \\ \\
\sin ^ {2}x - 2 \sin x + 1 = 1 - \sin ^ {2}x \\ \\ t = \sin x \in \langle -1,1\rangle \\ \\ t^{2} - t = 0}\)

itd. Odpowiedź ma być jak tu

a z tego mojego równania wychodzi że\(\displaystyle{ x = k \pi}\)

[ares41]

\(\displaystyle{ \sin{x}-\cos{x}=- \left( \cos{x}-\sin{x} \right) =- \left( \sqrt{2}\cos{ \left( x+\frac{\pi}{4} \right) } \right)}\)

[aalmond]

a z tego mojego równania wychodzi że \(\displaystyle{ x = k \pi}\)

Nie. Z tego równania wyjdzie co innego.

[h5n11]

Czemu tak? Znaczy możesz mi powiedzieć czemu w tym, co ja robiłem nie chcą wyjść dobre wyniki? Gdzieś o czymś zapomniałem, czy co?


@aalmod, jeszcze inaczej?

[ares41]

Równanie jest błędne.
Na jakiej podstawie zakładasz, że \(\displaystyle{ \sin x - 1 \ge 0}\) ?

Poza tym, nieprawdą jest że \(\displaystyle{ \cos{x}=\sqrt{1 - \sin ^ {2}x}}\)

[h5n11]

\(\displaystyle{ \sin{x}-\cos{x}=- \left( \cos{x}-\sin{x} \right) =- \left( \sqrt{2}\cos{ \left( x+\frac{\pi}{4} \right) } \right)}\)

To jeszcze bardzo bym prosił o wyjaśnienie końcowej prawej strony, skąd ona się wzięła?

[kamil13151]

\(\displaystyle{ \cos{x}-\sin{x}= \sqrt{2}\left( \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos{x}-\frac{ \sqrt{2} }{2} \sin{x}\right)= \sqrt{2}\left( \sin \frac{\pi }{4} \cos{x}-\cos \frac{\pi }{4} \sin{x}\right)}\)

[h5n11]

ech, dalej nie wiem skąd te przekształcenie
\(\displaystyle{ \cos{x}-\sin{x}= \sqrt{2}\left( \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos{x}-\frac{ \sqrt{2} }{2} \sin{x}\right)}\)
To z jakiegoś wzoru wzięte? Jakiego?

[ares41]

\(\displaystyle{ 1= \sqrt{2} \cdot \frac{1}{ \sqrt{2} }=\sqrt{2} \cdot \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}\)

Dalej ze wzoru na cosinusa sumy.