Witam,
Jak zabrać się za równanie :
\(\displaystyle{ \tan x=2- \sqrt{3}}\)
Równanie trygonometryczne
-
chlorofil
- Użytkownik
- Posty: 548
- Rejestracja: 16 cze 2010, o 18:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 96 razy
Równanie trygonometryczne
\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{\cos x}=2-\sqrt{3}}\)
Pomnożyć obustronnie przez \(\displaystyle{ \cos x}\), obustronnie do kwadratu, przenieść wszystko na jedną stronę, zastosować wzory na podwojone kąty (sinusa i cosinusa), i dostaniemy:
\(\displaystyle{ \frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\ctg{2x} = \sqrt {3}}\)
Jak byś miał problemy to rozpisz i napisz, w którym miejscu jest problem.
Pomnożyć obustronnie przez \(\displaystyle{ \cos x}\), obustronnie do kwadratu, przenieść wszystko na jedną stronę, zastosować wzory na podwojone kąty (sinusa i cosinusa), i dostaniemy:
\(\displaystyle{ \frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\ctg{2x} = \sqrt {3}}\)
Jak byś miał problemy to rozpisz i napisz, w którym miejscu jest problem.
Ostatnio zmieniony 24 paź 2011, o 23:21 przez chlorofil, łącznie zmieniany 1 raz.
-
Psiaczek
- Użytkownik
- Posty: 1502
- Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 475 razy
Równanie trygonometryczne
Możesz , patrząc na wzór dostępny w tablicach:
\(\displaystyle{ \tan \frac{ \alpha }{2}= \frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}\)
i widząc \(\displaystyle{ 2- \sqrt{3}=2(1- \frac{ \sqrt{3} }{2})}\)
zauważyć co się stanie, gdy podstawisz \(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{6}}\)
\(\displaystyle{ \tan \frac{ \alpha }{2}= \frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}\)
i widząc \(\displaystyle{ 2- \sqrt{3}=2(1- \frac{ \sqrt{3} }{2})}\)
zauważyć co się stanie, gdy podstawisz \(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{6}}\)
-
Harahido
- Użytkownik
- Posty: 284
- Rejestracja: 9 maja 2010, o 17:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Silesia
- Podziękował: 139 razy
Równanie trygonometryczne
@chlorofil
Doszedłem do przeniesienia na jedną stronę i zatrzymałem się na zastosowaniu wzorów na sumy kąta podwojonego. Mam takie coś >
\(\displaystyle{ \sin ^{2}x - \cos ^{2}x(7-4 \sqrt{3})=0}\)
Co dalej ? Jak zastosować te wzory ?
@ Psiaczek - twój sposób rozumiem
Doszedłem do przeniesienia na jedną stronę i zatrzymałem się na zastosowaniu wzorów na sumy kąta podwojonego. Mam takie coś >
\(\displaystyle{ \sin ^{2}x - \cos ^{2}x(7-4 \sqrt{3})=0}\)
Co dalej ? Jak zastosować te wzory ?
@ Psiaczek - twój sposób rozumiem
-
chlorofil
- Użytkownik
- Posty: 548
- Rejestracja: 16 cze 2010, o 18:30
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 96 razy
Równanie trygonometryczne
O ile się nigdzie nie pomyliłem:
\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{\cos x}=2-\sqrt{3}\\
\sin x = 2 \cos x - \sqrt 3 cos x\\
\sin x + \sqrt 3 \cos x = 2 \cos x \ \ / ()^2 \ \ \ (*) \\
\sin ^2 x + 2 \sqrt 3 \sin x \cos x + 3 \cos ^2 x = 4 \cos ^2 x\\
\sin ^2 x - \cos ^2 x + 2 \sqrt 3 \sin x \cos x = 0\\
- \cos 2x + \sqrt 3 \sin 2x = 0\\
\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\sqrt 3}\)
Pamiętaj o dziedzinie i o tym, że dzieląc przez \(\displaystyle{ \sin 2x}\) gubisz potencjalne rozwiązanie (gdy \(\displaystyle{ \sin 2x = 0}\)), więc trzeba ten przypadek osobno sprawdzić (w tym przypadku widać od razu, że nie zgubimy tym przekształceniem rozwiązania, ale zaznaczam, że trzeba to sprawdzić).
Pozostaje jeden mały problem, przekształcenie w którym łatwo o błąd. Chodzi o linijkę oznaczoną gwiazdką. Otóż podnosząc do kwadratu obie strony możemy łatwo "dołożyć" sobie rozwiązania, które w wyjściowym równaniu rozwiązaniami nie będą.
Gdyby bowiem lewa strona była równa np. 1, a prawa -1, to po podniesieniu do kwadratu okazuje się, że obie strony są równe! Dlatego, uzyskując końcowe rozwiązanie należy sprawdzić, czy spełnia ono równanie (*). Okazuje się, że w naszym przypadku trzeba będzie niektóre (konkretnie co drugie) rozwiązania odrzucić.
\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{\cos x}=2-\sqrt{3}\\
\sin x = 2 \cos x - \sqrt 3 cos x\\
\sin x + \sqrt 3 \cos x = 2 \cos x \ \ / ()^2 \ \ \ (*) \\
\sin ^2 x + 2 \sqrt 3 \sin x \cos x + 3 \cos ^2 x = 4 \cos ^2 x\\
\sin ^2 x - \cos ^2 x + 2 \sqrt 3 \sin x \cos x = 0\\
- \cos 2x + \sqrt 3 \sin 2x = 0\\
\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\sqrt 3}\)
Pamiętaj o dziedzinie i o tym, że dzieląc przez \(\displaystyle{ \sin 2x}\) gubisz potencjalne rozwiązanie (gdy \(\displaystyle{ \sin 2x = 0}\)), więc trzeba ten przypadek osobno sprawdzić (w tym przypadku widać od razu, że nie zgubimy tym przekształceniem rozwiązania, ale zaznaczam, że trzeba to sprawdzić).
Pozostaje jeden mały problem, przekształcenie w którym łatwo o błąd. Chodzi o linijkę oznaczoną gwiazdką. Otóż podnosząc do kwadratu obie strony możemy łatwo "dołożyć" sobie rozwiązania, które w wyjściowym równaniu rozwiązaniami nie będą.
Gdyby bowiem lewa strona była równa np. 1, a prawa -1, to po podniesieniu do kwadratu okazuje się, że obie strony są równe! Dlatego, uzyskując końcowe rozwiązanie należy sprawdzić, czy spełnia ono równanie (*). Okazuje się, że w naszym przypadku trzeba będzie niektóre (konkretnie co drugie) rozwiązania odrzucić.