Nierówność trygonometryczna

[wioselko92]

witam,

\(\displaystyle{ \sin x \cos x < \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \sin 2 x< \frac{1}{2}}\)

rozumiem

zaznaczam sobie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) na wykresie i wychodzi \(\displaystyle{ x_{1}= \frac{ \pi }{6}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}= \frac{5 \pi }{6}}\)
teraz odpowiedź jest taka
\(\displaystyle{ 2x \in ( \frac{5 \pi }{6} +2k \pi , \frac{13 \pi }{6}+2k \pi )}\)
\(\displaystyle{ x \in ( \frac{5 \pi }{12} +k \pi , \frac{13 \pi }{12}+k \pi )}\)

\(\displaystyle{ \frac{5 \pi }{6}+2k \pi}\) to ok. nasz \(\displaystyle{ x_{2}}\) i okres, czemu potem jest \(\displaystyle{ \frac{13 \pi }{6}}\) ? jak jest z tym \(\displaystyle{ 2x}\) ?

i jeszcze czy taką nierówność można rozwiązać ? jaką wartość funkcja ma dla \(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}}\) ?:
\(\displaystyle{ sinxcosx< \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ sin2x<2 \sqrt{2}}\)


dzięki bardzo i pozdrawiam.

[dziabong]

To od końca \(\displaystyle{ 2x}\) pojawia się dlatego, że Twoje \(\displaystyle{ x_{1}\ i\ x_{2}}\) oznaczały tak naprawdę \(\displaystyle{ 2x_1\ i\ 2x_2}\), bo przecież argumentem sinusa jest \(\displaystyle{ 2x}\) .

I teraz

Dla \(\displaystyle{ 2x \in \left( 0; 2 \pi \right)}\) nierówność spełniają \(\displaystyle{ 2x \in \left( 0; \frac{ \pi }{6}\right) \cup \left( \frac{ 5 \pi }{6};2 \pi\right)}\), ale jeśli przejdziemy do \(\displaystyle{ x \in R}\) możemy połączyć te dwa zbiory w jeden "przeciągając dalej" ten drugi, czyli \(\displaystyle{ 2x \in ( \frac{5 \pi }{6} +2k \pi ;2 \pi + \frac{\pi }{6}+2k \pi ) \Rightarrow 2x \in ( \frac{5 \pi }{6} +2k \pi ; \frac{13 \pi }{6}+2k \pi )}\)
Jak nie widzisz tego to narysuj to sobie dla \(\displaystyle{ k = 1}\) to się rozjaśni

a ponieważ cały czas mówiliśmy o \(\displaystyle{ 2x}\) to teraz dzielimy wszystko przez dwa, żeby uzyskać warunki na \(\displaystyle{ x}\).

W razie pytań - pytaj

P.S. ad 2. \(\displaystyle{ \sin y \le 1 \ dla\ y \in R}\) - pomyśl nad tym

[chris_f]

\(\displaystyle{ \frac{13\pi}{6}}\) wzięto po prostu "dla wygody", żeby zbiór rozwiązań nierówności zapisać w postaci tylko jednego przedziału. Gdybyśmy wzięli \(\displaystyle{ x_1,x_2}\), które otrzymałaś, to rozwiązanie tej nierówności należałoby zapisać w postaci \(\displaystyle{ \left(0,\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{5\pi}{6},2\pi\right)}\) ograniczając się do przedziału \(\displaystyle{ (0,2\pi)}\), podczas gdy przy pomocy jednego przedziału można to zapisać właśnie w taki sposób jak masz, bo \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}+2\pi=\frac{13\pi}{6}}\). Zresztą to widać na rysunku

AU

2b83588a5a5069dcm.jpg (4.68 KiB) Przejrzano 62 razy

[/url]