Postać trygonometryczna liczby

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Stachu97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 28 wrz 2011, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bieszczady
Podziękował: 1 raz

Postać trygonometryczna liczby

Post autor: Stachu97 »

\(\displaystyle{ z = 4 -4i}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{ 16 + 16} = 4\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ cos \varphi = \frac{4}{4 \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\) 1.
\(\displaystyle{ sin \varphi = \frac{-4}{4 \sqrt{w} } = - \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ z = 4 \sqrt{2} \left( cos \frac{7 \pi }{4} +i sin \frac{7 \pi}{4} \right)}\) 2.

i dwa pytania pod numerkami

1. nie rozumiem tego skrócenia tzn jak to sie stało po kolei że wyszło \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
2. dlaczego wychodzi tam \(\displaystyle{ \frac{7 \pi}{4}}\)
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Postać trygonometryczna liczby

Post autor: Crizz »

1. Pomnożono licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)
2. W której ćwiartce sinus jest ujemny, a cosinus dodatni? (albo: gdyby obie funkcje wyszły dodatnie, to byłoby \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\); zauważ, że \(\displaystyle{ \cos x=\cos (-x),-\sin x=\sin (-x)}\), więc w tym zadaniu wystarczy wziąć kąt z minusem i wychodzi \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}}\); jak dodamy \(\displaystyle{ 2\pi}\) to dostaniemy ten sam kąt, czyli \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{4}}\)).
Stachu97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 28 wrz 2011, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bieszczady
Podziękował: 1 raz

Postać trygonometryczna liczby

Post autor: Stachu97 »

hm no dobrze a jeśli mam

\(\displaystyle{ z=1+i}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{1 ^{2} + 1^{2} }}\)
\(\displaystyle{ cos \varphi = \frac{1}{ \sqrt{2} }}\)
\(\displaystyle{ sin \varphi = \frac{1}{ \sqrt{2} }}\)
chyba tak to powinno byc ale jak dalej to pociagnac to juz nie wiem :/

i nie moge odczytac tego z tablicy to jak dojsc do wyniku? w poprzednim bylo latwo bo bez problemu mozna bylo z tablicy wyczytac ale takich sin/cos nie ma w tablicy to co wtedy?

no i oczywiscie w poprzednim chodzilo o cwiartke 4 ale tez nie wiem co mi ta wiadomosc daje
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Postać trygonometryczna liczby

Post autor: Crizz »

Znowu - pomnóż licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i już możesz odczytać z tablicy.

Tablice masz tylko od zera do kąta prostego. Musisz je sprytnie wykorzystać do pozostałych ćwiartek układu współrzędnych. Ja proponuję taką metodę:

wyznacz kąt \(\displaystyle{ x}\), jaki wyszedłby, gdyby zarówno sinus, jak i cosinus wyszły dodatnie (po prostu nie zwracasz uwagi na znak minus przy którejkolwiek z funkcji)
gdy kąt jest czwartej ćwiartki, tzn. \(\displaystyle{ \sin \varphi < 0, \cos \varphi > 0}\), to na podstawie wzorów \(\displaystyle{ \cos x=\cos (-x),-\sin x=\sin (-x)}\) stwierdzasz, że \(\displaystyle{ \varphi=-x}\)
gdy kąt jest trzeciej ćwiartki, tzn. \(\displaystyle{ \sin \varphi < 0, \cos \varphi < 0}\), to na podstawie wzorów \(\displaystyle{ \cos (\pi+x)=-\cos x,\sin (\pi+x)=-\sin x}\) stwierdzasz, że \(\displaystyle{ \varphi=\pi+x}\)
gdy kąt jest drugiej ćwiartki, tzn. \(\displaystyle{ \sin \varphi > 0, \cos \varphi < 0}\), to na podstawie wzorów \(\displaystyle{ \cos (\pi-x)=-\cos x,\sin (\pi-x)=\sin x}\) stwierdzasz, że \(\displaystyle{ \varphi=\pi-x}\)

Wystarczy więc zapamiętać: w pierwszej ćwiartce wyjdzie \(\displaystyle{ x}\), w drugiej \(\displaystyle{ \pi-x}\), w trzeciej \(\displaystyle{ \pi+x}\), w czwartej \(\displaystyle{ -x}\).

Jeśli chodzi o sytuację, w której \(\displaystyle{ x}\) nie jest typowym kątem, to możesz podać tylko jego przybliżoną, obliczoną na kalkulatorze wartość.
ODPOWIEDZ