Równania i tożsamości cyklometryczne

[mms005]

Witam,
mam problem z równaniami cyklometrycznymi. Chciałabym, aby ktoś pokazał mi krok po kroku jak rozwiązać podane niżej równania, abym mogła zrozumieć jak rozwiązywać inne.

1. \(\displaystyle{ \arccot x = \arctan x}\)
2. \(\displaystyle{ \arcsin x + \arcsin (2x) = \frac{\pi}{2}}\)

Oraz chciałabym, aby ktoś pokazał mi, jak poprawnie krok po kroku sprawdzić tożsamość cyklometryczną, np. taką:
\(\displaystyle{ \arctan x + \arccot x = \frac{\pi}{2} , x \in \mathbb{R}}\)

Proszę o pomoc.
Pozdrawiam,
Malwina

[Psiaczek]

Chciałabym, aby ktoś pokazał mi, jak poprawnie krok po kroku sprawdzić tożsamość cyklometryczną, np. taką:
\(\displaystyle{ \arctan x + \arccot x = \frac{\pi}{2} , x \in \mathbb{R}}\)

Oznaczmy \(\displaystyle{ \arctan x= \alpha ,\arccot x= \beta}\)

wtedy \(\displaystyle{ x=\tan \alpha =\cot \beta ,- \frac{ \pi }{2} < \alpha < \frac{ \pi }{2},0 < \beta < \pi}\)

mamy ze wzorów redukcyjnych \(\displaystyle{ \cot \beta =\tan ( \frac{ \pi }{2} - \beta )}\)

ze związku \(\displaystyle{ 0 < \beta < \pi}\) wynika \(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{2} < \frac{ \pi }{2} - \beta < \frac{ \pi }{2}}\)

biorąc wszystko do kupy mamy: \(\displaystyle{ \tan \alpha =\tan ( \frac{ \pi }{2}- \beta )}\)
i widzimy że oba kąty są z przedziału \(\displaystyle{ (- \frac{ \pi }{2} , \frac{ \pi }{2})}\) na którym tangens jest różnowartościowy:

stąd \(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi }{2}- \beta , \alpha + \beta = \frac{ \pi }{2}}\)

biorąc pod uwagę początkowe oznaczenia jest to koniec dowodu.

[Chromosom]

Należy korzystać z tożsamości trygonometrycznych. Trudno jest dokładnie to wytłumaczyć jedynie przy wykorzystaniu internetu. Mogę powiedzieć tyle, że z czasem nabędziesz biegłość i będziesz w stanie szybko dobrać odpowiednią metodę. Opiszę w skrócie pierwsze równanie; następne rozwiążesz samodzielnie.

\(\displaystyle{ \arccot x=\arctan x\\ \tg(\arccot x)=\tg(\arctan x)\\ \frac{1}{\ctg(\arccot x)}=x}\)

Przechodząc z pierwszego równania do drugiego, wzięto obie strony jako argumenty funkcji tangens. W tym przypadku jest to dozwolone ze względu na dziedzinę funkcji. Nie zawsze tak jest, ale odpowiednie przykłady poznasz w czasie dalszej nauki. Podczas przechodzenia z równości drugiej do trzeciej skorzystano z zależności: \(\displaystyle{ \tg(\arctan x)=x}\). Podobne zależności również nie zawsze są prawdziwe. Na przykład \(\displaystyle{ \arcsin(\sin x)\neq x}\). Więcej przykładów poznasz podczas pracy z matematyką. Dokończ samodzielnie pierwsze równanie i rozwiąż podobnie kolejne. Gdyby pojawiły się problemy, możesz zadać pytanie.

Zadanie związane z dowodzeniem tożsamości można rozwiązać w podobny sposób. Obie strony można wziąć jako argument funkcji tangens. Warto też zwrócić uwagę na inny sposób dowodzenia tożsamości postaci \(\displaystyle{ f(x)=a}\). Jeśli funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) jest klasy \(\displaystyle{ C^1}\), wystarczy obliczyć pochodną. Jeśli jest ona stale równa 0, funkcja jest stała. Następnie należy obliczyć na przykład \(\displaystyle{ f(0)}\) - wartość funkcji jest taka sama na całej dziedzinie.

[mms005]

Wyszło mi \(\displaystyle{ x=1 \wedge x=-1}\), po wykresach widzę, że powinno wyjść mi tylko \(\displaystyle{ x=1}\), pewnie pominęłam jakieś założenie?
\(\displaystyle{ \cot\left( \arccot x \right) \neq 0}\), ale jak to policzyć?

W drugim na początku wyznaczyłam dziedzinę \(\displaystyle{ x \in \left[ -\frac{1}{2}; \frac{1}{2} \right]}\)
i po przekształceniach (mam nadzieję, że poprawnych) doszłam do:
\(\displaystyle{ 2x = \sin\left( \frac{\pi}{2} - \arcsin x \right)}\)
\(\displaystyle{ 2x = \cos\left( \arcsin x \right)}\)
i nie wiem, co dalej, proszę o wskazówkę lub korektę

Co do dowodu, to przeanalizuję sposób podany przez Psiaczek, ponieważ nie miałam jeszcze pochodnych

[Chromosom]

Brakuje założenia związanego z różnowartościowością funkcji. Wiąże się to z tym, że \(\displaystyle{ \neg\left(\tg x=\tg y\Longrightarrow x=y\right)}\). Po rozwiązaniu równania należy sprawdzić, które ze znalezionych rozwiązań je spełniają. W tym przypadku \(\displaystyle{ x=-1}\) prowadzi do sprzeczności, zatem nie należy do zbioru rozwiązań.