Dowód twierdzenia na połówke kąta funkcji trygonometry

[kapod88]

Poszukuje dowodu na połówke kąta funkcji trygonometrycznej, bo nigdzie nie moge jej znalezc doszedlem do pewnego momentu i nie wiem jak dalej wyliczyc. Poszukuje rozpisu krok po kroku co powinienem robić. Moze byc opracowany dowod np. na cosinusie bo jak 1 funkcje zobacze to pozniej dam sobie sam rade;p z gory dzieki i pozdrawiam!:)

[luka52]

Zacznijmy od takiego układziku:
\(\displaystyle{ \cos^2a + \sin^2a = 1\\
\cos^2a - \sin^2a = \cos{2a}}\)
Powyższe jest chyba oczywiste. Dodając stronami mamy:
\(\displaystyle{ 2 \cos^2a = 1 + \cos{2a}\\
\cos^2a = \frac{1 + \cos{2a}}{2}\\
\cos a = \sqrt{ \frac{1 + \cos{2a}}{2}}}\)
Podstawiając \(\displaystyle{ x=2a}\)
\(\displaystyle{ \cos{\frac{x}{2}} = \sqrt{ \frac{1 + \cos{x}}{2}}}\)
Analogicznie dla sinusa.

[Lady Tilly]

Cosinus i sinus połowy kąta:
posłuzymy się wzorem jednostkowym:
\(\displaystyle{ cos^{2}\frac{\alpha}{2}+sin^{2}\frac{\alpha}{2}=1}\) (1) oraz weźmy jeszcze to równanie po uwagę:
\(\displaystyle{ cos2\alpha=cos^{2}\alpha-sin^{2}\alpha}\), który również jest prawdziwy dla dowolnego kąta czyli
\(\displaystyle{ cos2\frac{\alpha}{2}=cos^{2}\frac{\alpha}{2}-sin^{2}\frac{\alpha}{2}}\)
Przestawiając ze sobą obie strony i zastępujac \(\displaystyle{ 2\frac{\alpha}{2}}\)
przez \(\displaystyle{ \alpha}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ cos^{2}\frac{\alpha}{2}-sin^{2}\frac{\alpha}{2}=cos\alpha}\) (2)
zestawiamy teraz ze sobą (1) i (2). Dodając stronami redukujemy \(\displaystyle{ sin^{2}\frac{\alpha}{2}}\) i obliczamy \(\displaystyle{ cos^{2}\frac{\alpha}{2}}\)

[kapod88]

o dzieki wielkie i pozdrawiam:)