nierówność z arcsin

[maja55555]

Jak rozwiązać taką nierówność względem x
\(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2} < \arcsin x + \alpha}\) gdzie \(\displaystyle{ x \in (-1,1)}\) a \(\displaystyle{ \alpha \in (-\pi,\pi)}\)

[lukasz1804]

Mamy równoważnie: \(\displaystyle{ \arcsin x>-\frac{\pi}{2}-\alpha}\). Ponieważ zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ y=\arcsin x}\) określonej na przedziale \(\displaystyle{ (-1,1)}\) jest przedział \(\displaystyle{ (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})}\), to wiemy, że:

1) jeśli \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}-\alpha\ge\frac{\pi}{2}}\), to nierówność jest fałszywa;

2) jeśli \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}<-\frac{\pi}{2}-\alpha<\frac{\pi}{2}}\), to nierówność zachodzi dla \(\displaystyle{ x\in\left(\sin(-\frac{\pi}{2}-\alpha),1\right)=\left(-\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha),1\right)=\left(\cos\alpha,1\right)}\);

3) jeśli \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}-\alpha\le -\frac{\pi}{2}}\), to nierówność jest spełniona przez każdą liczbę \(\displaystyle{ x\in(-1,1)}\).

(W przypadku danych wartości parametru \(\displaystyle{ \alpha}\) pierwszy przypadek nie zachodzi.)