Maksymalna wartość wyrażenia

[tomek121]

Witam

Mam problem z ustaleniem maksymalnej wartosci wyrazenia

\(\displaystyle{ \cos x + 0.35 \sin x}\)

Czy moglby mi ktos pomoc krok po kroku jak to rozwiazac?

[joe74]

\(\displaystyle{ f\left( x\right) = \cos x + 0,35 \cdot \sin x}\)

Trzeba sprawdzić, w których miejscach zerowych funkcja

\(\displaystyle{ g\left( x\right) = \frac{df}{dx} = - 1 \cdot \sin x + 0,35 \cdot \cos x}\)

zmienia znak z "+" na "-".

Najlepiej sprowadzić postać funkcji g(x) do postaci

\(\displaystyle{ g\left( x\right) = C \cdot \sin \gamma}\)

z wzoru

\(\displaystyle{ A \cdot \sin \alpha + B \cdot \cos \alpha = C \cdot \sin \gamma}\)

\(\displaystyle{ C = \sqrt{A ^{2} + B ^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \gamma = \arctan \frac{B}{A}}\)

Można też wyjściową funkcję przekształcić do postaci jednej funkcji sinusoidalnie zmiennej (bo pochodną funkcji badanej i tak przecież musimy przekształcać) i znaleźć argumenty dla których ma wartości maksymalne.

[Psiaczek]

Witam

maksymalnej wartosci wyrazenia

\(\displaystyle{ Cos x + 0.35 Sin x}\)

Dorzucę jeszcze jeden sposób rozwiązania przy założeniu że można z wektorów korzystać.

Wprowadzamy wektory \(\displaystyle{ \vec{e}=(\cos x, \sin x), \vec{a} =(1, 0.35)}\)

wtedy \(\displaystyle{ S=\cos x + 0.35\sin x= \vec{a} \cdot \vec{e}=\left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{e} \right| \cdot \cos ( \vec{a}, \vec{e})}\)

ale \(\displaystyle{ \left| \vec{e} \right|= \sqrt{(\cos x)^2+(\sin x)^2} =1,\left| \vec{a} \right| = \sqrt{(1)^2+( \frac{7}{20} )^2}= \frac{ \sqrt{449} }{20}}\)

czyli \(\displaystyle{ S=\frac{ \sqrt{449} }{20} \cdot \cos ( \vec{a}, \vec{e})}\)

z tej postaci znając zbiór wartości kosinusa natychmiast otrzymujemy wartość największą.