wyznaczyć okres podstawowy funkcji

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
KiR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 17 paź 2011, o 10:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

wyznaczyć okres podstawowy funkcji

Post autor: KiR »

Wyznaczyć okres podstawowy funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\sin 3x+\sin 4x}\).
Ostatnio zmieniony 17 paź 2011, o 12:37 przez scyth, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
chlorofil
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 548
Rejestracja: 16 cze 2010, o 18:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 96 razy

wyznaczyć okres podstawowy funkcji

Post autor: chlorofil »

Okresem podstawowym funkcji \(\displaystyle{ \sin 3x}\) jest liczba \(\displaystyle{ \frac{2 \pi}{3}}\). Okresem podstawowym funkcji \(\displaystyle{ \sin 4x}\) jest liczba \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\).

Potrzebujesz teraz znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność tych dwóch okresów. Wypiszmy:

dla \(\displaystyle{ \frac{2 \pi}{3}}\): \(\displaystyle{ \left\{ \frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{6 \pi}{3}, \frac{8 \pi}{3}, ... \right\}}\)

dla \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\): \(\displaystyle{ \left\{ \frac{\pi}{2}, \frac{2 \pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{4 \pi}{2}, ... \right\}}\)

Widać, że najmniejszą wspólną wielokrotnością jest liczba \(\displaystyle{ 2 \pi}\). Ta liczba jest też okresem wyjściowej funkcji.

W ogólności, jeśli liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)są wymierne, to funkcja:
\(\displaystyle{ \sin (ax) + \sin (bx)}\) jest funkcją okresową. Gdy dodatkowo założymy, że \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są całkowite, to okresem podstawowym funkcji jest liczba \(\displaystyle{ \frac{2 \pi}{NWD(a, b)}}\).

Można wykazać, że jeśli liczba \(\displaystyle{ a}\) jest wymierna, a \(\displaystyle{ b}\)niewymierna, to funkcja:
\(\displaystyle{ \sin (ax) + \sin (bx)}\) nie jest funkcją okresową.
ODPOWIEDZ