Równania trygonometryczne (+logarytm)

[Raison]

Nie potrafię rozwiązac dwóch przykładów. Byłbym wdzięczny za pomoc w rozwiązaniu:

1. \(\displaystyle{ \sqrt{log_{\frac{1}{2}}(-x)}\sin \Pi x = 0}\)

2. \(\displaystyle{ \cos x + \sin x = \frac{\cos2x}{1-\sin2x}}\)

[octahedron]

\(\displaystyle{ \text{ dziedzina logarytmu:}\\-x>0 \Rightarrow x<0\\
\sqrt{log_{\frac{1}{2}}(-x)}\sin \pi x = 0 \Leftrightarrow \sqrt{log_{\frac{1}{2}}(-x)}=0\ \vee\ \sin \pi x = 0\\
\sin \pi x = 0 \Leftrightarrow \pi x=k\pi \Leftrightarrow x=k,\ k\in Z\\
\sqrt{log_{\frac{1}{2}}(-x)}=0 \Leftrightarrow log_{\frac{1}{2}}(-x)=0 \Leftrightarrow -x=1 \Leftrightarrow x=-1\\
\fbox{x\in Z_-}}\)

[chlorofil]

1/ \(\displaystyle{ a \cdot b = 0 \Leftrightarrow (a = 0 \vee b = 0)}\)

2/ uniwersalne podstawienie trygonometryczne:

Dla każdego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\), dla którego istnieją \(\displaystyle{ \tg \alpha}\), \(\displaystyle{ \tg \frac{\alpha}{2}}\) i \(\displaystyle{ \ctg \frac{\alpha}{2}}\), podstawiamy:

\(\displaystyle{ t = \tg \frac{ \alpha }{2}}\)

Wtedy:

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \frac{2 \cdot t}{1 + t^2}}\)

\(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}}\)

W ten sposób możemy wyjściowe równanie sprowadzić do równania wymiernego, następnie, wracając do podstawienia, rozwiązujemy proste równania trygonometryczne.

[octahedron]

\(\displaystyle{ 1-\sin 2x\ne 0 \Rightarrow x\ne \frac{\pi}{4}+k\pi,\ k\in Z\\
\cos x + \sin x = \frac{\cos 2x}{1-\sin 2x}\\
\cos x + \sin x = \frac{\cos^2x-\sin^2x}{\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cos x}\\\\
\cos x + \sin x = \frac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{(\cos x-\sin x)^2}\\\\
\cos x + \sin x = \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}\\
\left( \cos x + \sin x\right)\left( 1-\frac{1}{\cos x-\sin x}\right) = 0\\
\cos x + \sin x=0\ \vee\ 1-\frac{1}{\cos x-\sin x}=0\\
\sin x=-\cos x\\
\cos x\ne 0\\
\tan x=-1\\
x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\\
1-\frac{1}{\cos x-\sin x}=0\\\\
\cos x-\sin x=1\\\\
\cos^2\left( \frac{x}{2}\right) -\sin^2\left( \frac{x}{2}\right) -2\sin\left( \frac{x}{2}\right) \cos\left( \frac{x}{2}\right) =\sin^2\left( \frac{x}{2}\right) +\cos^2\left( \frac{x}{2}\right) \\\\
-2\sin^2\left( \frac{x}{2}\right) -2\sin\left( \frac{x}{2}\right) \cos\left( \frac{x}{2}\right) =0\\
\sin\frac{x}{2}\left( \sin\frac{x}{2}+\cos\frac{x}{2}\right) =0\\
\sin\left( \frac{x}{2}\right) =0 \Rightarrow x=2k\pi\\
\sin\left( \frac{x}{2}\right) +\cos\left( \frac{x}{2}\right) =0 \Rightarrow \sin\left( \frac{x}{2}\right) =-\cos\left( \frac{x}{2}\right) \Rightarrow \cos\left( \frac{x}{2}\right) \ne 0 \Rightarrow \tan\left( \frac{x}{2}\right) =-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\\}\)

[Raison]

\(\displaystyle{ \cos x + \sin x = \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}\\
\left( \cos x + \sin x\right)\left( 1-\frac{1}{\cos x-\sin x}\right) = 0\\}\)

Nie rozumiem w jaki sposób to zostało tak zamienione... Jak przeniosłeś prawą stronę (pierwsza linijka) na lewą, żeby tak wyszło (jak w drugiej linijce)?

[chlorofil]

Przeniósł na jedną stronę i wyłączył wspólny czynnik przed nawias. Wspólnym czynnikiem jest wyrażenie:

\(\displaystyle{ \sin x + \cos x}\)

[octahedron]

\(\displaystyle{ \cos x + \sin x = \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}\\
\cos x + \sin x - \frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}=0\\
\cos x + \sin x - \left( \cos x + \sin x\right) \frac{1}{\cos x-\sin x}=0\\
\left( \cos x + \sin x\right)\left( 1-\frac{1}{\cos x-\sin x}\right) = 0\\}\)

[Raison]

Jeszcze takie pytanie.
Kiedy rozwiązuję to w taki sposób:

\(\displaystyle{ \cos x - \sin x = 1 \\
\cos x - \sqrt{1 - \cos^{2}x} = 1}\)
po przeniesieniu i podniesieniu do potęgi:
\(\displaystyle{ 2\cos x (\cos x - 1) = 0 \\
\cos x = 1 \Rightarrow x = 2 k \pi \vee 2\cos x = 0 \Rightarrow x = - \frac{\pi}{2} + 2k \pi}\)

Wyszło, że \(\displaystyle{ x = - \frac{\pi}{2} + 2k \pi}\) , ale powinno być \(\displaystyle{ x = - \frac{\pi}{2} + k \pi}\) . Czemu?

[chlorofil]

Ponieważ:
\(\displaystyle{ \sin x \neq \sqrt{1 - \cos^{2}x}}\)

Zauważ, że po prawej stronie masz wyrażenie zawsze nieujemne, a sinus może przyjmować wartość ujemną...