Zamien wyrazenie na iloczyn wiedzac ze

[miska001]

Zamien wyrazenie na iloczyn wiedzac ze


\(\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma = \pi}\)

\(\displaystyle{ \sin\alpha + \sin\beta - \sin\gamma}\)

[norwimaj]

Najprościej to można zrobić tak:

\(\displaystyle{ \sin\alpha + \sin\beta - \sin\gamma=1\cdot(\sin\alpha + \sin\beta - \sin\gamma)}\),

ale niektórzy nauczyciele się na takie rozwiązania oburzają, bo wolą wynik

\(\displaystyle{ 2\left(\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}-\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}\)

albo nawet

\(\displaystyle{ 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\left(\cos\frac{\alpha-\beta}{2}-\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}\).

Jak dojść do tych wyników, to chyba wiadomo. Pierwszy składnik pochodzi z przekształcenia \(\displaystyle{ \sin\alpha + \sin\beta}\), a drugi z \(\displaystyle{ - \sin\gamma}\).

Czynnik \(\displaystyle{ \cos\frac{\alpha-\beta}{2}-\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}\) można jeszcze uprościć.

[miska001]

no rozumiem rozumie, dziekuje
a możesz jeszcze zerknąć na ten przyklad \(\displaystyle{ \sin\alpha + \sin\beta + \sin\gamma}\)
dochodze w nim do takiego etapu : \(\displaystyle{ 2 sin \frac{ \alpha + \beta }{2} cos \frac{ \alpha - \beta }{2}}\) +\(\displaystyle{ sin ( \alpha + \beta )}\) i dalej jak rozpisac ?

[norwimaj]

Tak samo jak w poprzednim, \(\displaystyle{ \sin(\alpha+\beta)}\) można rozpisać ze wzoru na sinus kąta podwojonego.