Wykaż, że jeżeli w trójkącie ABC zachodzi związek:
\(\displaystyle{ \frac{a}{cos\alpha}=\frac{b}{cos\beta}}\)
to trójkąt jest równoramienny.
z góry dziękuję za pomoooc...
dowodzenie
-
bartholdy
- Użytkownik
- Posty: 158
- Rejestracja: 14 gru 2006, o 19:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 49 razy
dowodzenie
Założenia.
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}1^\circ\quad\alpha,\beta\in (0,\frac{\pi}{2})\\
2^\circ\quad\frac{a}{\cos\alpha} = \frac{b}{\cos\beta} \quad\Rightarrow\quad \frac{a}{b} = \frac{\cos\alpha}{\cos\beta}\end{array}}\)
Z tw. sinusów.
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}\quad\Rightarrow\quad 3^\circ \quad\frac{a}{b} = \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\\
\\
2^\circ\quad\&\quad 3^\circ \qquad \frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{\cos\alpha}{\cos\beta}\\
\cos\alpha\cdot\cos\beta-\cos\beta\cdot\sin\alpha = 0\\
\sin(\beta - ) = 0
1^\circ \qquad \beta - = 0 \quad\Rightarrow\quad = \beta \\
C.N.D.}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}1^\circ\quad\alpha,\beta\in (0,\frac{\pi}{2})\\
2^\circ\quad\frac{a}{\cos\alpha} = \frac{b}{\cos\beta} \quad\Rightarrow\quad \frac{a}{b} = \frac{\cos\alpha}{\cos\beta}\end{array}}\)
Z tw. sinusów.
\(\displaystyle{ \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}\quad\Rightarrow\quad 3^\circ \quad\frac{a}{b} = \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\\
\\
2^\circ\quad\&\quad 3^\circ \qquad \frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{\cos\alpha}{\cos\beta}\\
\cos\alpha\cdot\cos\beta-\cos\beta\cdot\sin\alpha = 0\\
\sin(\beta - ) = 0
1^\circ \qquad \beta - = 0 \quad\Rightarrow\quad = \beta \\
C.N.D.}\)