przybliżone wartości funkcji tryg.

[HaveYouMetTed]

Mam na fizyce teraz oscylator harmoniczny, wszystko jest póki co w porządku tylko jestem trochę niedouczony matematycznie... otóż mam coś takiego:

\(\displaystyle{ sin\left( \frac{5 \pi }{12} \right) =...}\)

I potrzebuję przybliżoną wartość do oszacowania wyniku. Czy da się to jakoś obliczyć nie używając do tego komputera i zaawansowanego kalkulatora? Interesowałoby mnie z dokładnością do 3 miejsc po przecinku.

Tylko mi nie piszcie ile wynosi powyższa wartość bo ja to umiem na kompie policzyć, wytłumaczcie mi jak to policzyć używając mózgu, długopisu i kalkulatora prostego.

[lukasz1804]

\(\displaystyle{ \sin(\frac{5}{12}\pi)=\sin(\frac{1}{4}\pi+\frac{1}{6}\pi)}\); zastosuj wzór na sinus sumy kątów, by wyznaczyć dokładną wartość tego wyrażenia; później wykorzystaj znane przybliżenia liczb niewymiernych występujących w otrzymanej liczbie.

[szw1710]

\(\displaystyle{ \sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+\dots}\)

Oszacowanie dokładności stanowi zawsze następny wyraz tego szeregu. Wynika to ze wzoru Taylora. Wygeneruj więc odpowiednio długą sumę, a dokładność oszacuj jej następnym wyrazem. Jeśli więc zakończylibyśmy sumowanie na wyrazie z \(\displaystyle{ x^9}\), to dokładność szacuje wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{|x|^{11}}{11!}}\). Itd. itp.

[loitzl9006]

Można też np. za pomocą różniczki (trzeba mieć podstawy liczenia pochodnych):

Jest wzór \(\displaystyle{ f(x) - f(x _{0}) \approx f'(x _{0} ) \cdot \Delta x}\)

\(\displaystyle{ x _{0}}\) dobieramy takie, dla którego znamy wartość \(\displaystyle{ \sin x _{0}}\) i możliwie bliskie \(\displaystyle{ x= \frac{5 \pi }{12}}\) żeby \(\displaystyle{ \Delta x}\) było jak najmniejsze. Im mniejsze \(\displaystyle{ \Delta x}\) tym dokładniejsze przybliżenie wartości szukanego wyrażenia.

\(\displaystyle{ x= \frac{5 \pi }{12} \\ x _{0} = \frac{ 4 \pi }{12} = \frac{ \pi }{3} \\ f(x)= \sin x \\ f(x _{0})= \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ f'(x) = \cos x \\ \Delta x = x-x _{0} = \frac{ \pi }{12} \\ f'(x _{0}) = \frac{1}{2}}\)

Po wstawieniu do wzoru

\(\displaystyle{ f(x) \approx \frac{ \pi }{24} + \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

[HaveYouMetTed]

@szw1710 czy z cosinusem, tangensem i cotangensem wzór wyglądałby tak samo?

pewnie nie, więc gdybyś mógł napisać to miałbym już komplet i by mnie p.prof w lo niczym nie zagięła:)

[szw1710]

loitzl9006, ale oszacowanie błędu \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{12}}\) jest grubsze niż \(\displaystyle{ 0{,}001}\) (trzy miejsca po przecinku), jak chciał autor wątku.-- 8 paź 2011, o 21:16 --HaveYouMetTed,

\(\displaystyle{ \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots}\)

Oszacowanie błędu znów stanowi moduł następnego wyrazu.

Z tangensem: 25267.htm

[loitzl9006]

szw1710, Oj tak... różniczka odpada w tym przypadku.